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THÉORÈME DE HELMHOLTZ

étant parcouru deux fois en sens contraire. Il reste :

$\mathrm {J} _{\mathrm {PEQDP} }+\mathrm {J} _{\mathrm {P'D'Q'E'P'} }=0,$

ou

$\mathrm {J} _{\mathrm {PEQDP} }=\mathrm {J} _{\mathrm {P'D'Q'E'P'} }.$

L’intégrale $\mathrm {J}$ ainsi déterminée s’appelle le moment du tube de tourbillon.

Ce moment reste constant quand les molécules situées sur le tube se déplacent, car nous savons que $\mathrm {J}$ reste constant.

17. Application. — Tubes de tourbillon infiniment déliés. — Considérons un tube de tourbillon infiniment délié (fig. 8). Menons une section droite de ce tube : c’est une courbe fermée de deuxième espèce. On peut donc calculer le moment du tube en prenant l’intégrale $\mathrm {J}$ le long de cette section. Or :

$\mathrm {J} =2\int d\omega \xi _{n},$

comme nous l’avons vu [9], $\xi _{n}$ étant la composante normale du tourbillon. Dans le cas actuel

$\mathrm {J} =2d\omega .\xi _{n},$

puisque nous n’avons qu’un seul élément, auquel le tourbillon est normal, $d\omega$ est la section droite du tube (section droite que l’on peut toujours supposer parallèle au plan des $(yz),$ et $\xi$ le tourbillon lui-même. On en conclut que :

Le produit de la section droite d’un tube de tourbillon infiniment délié parle tourbillon est constant tout le long du tube. Ce produit demeure aussi constant dans le temps.