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DÉMONSTRATION DE KIRCHHOFF
Nous avons :
![{\displaystyle {\frac {d\psi }{dx_{0}}}={\frac {\partial \psi }{\partial x}}{\frac {dx}{dx_{0}}}+{\frac {\partial \psi }{\partial y}}{\frac {dy}{dx_{0}}}+{\frac {\partial \psi }{\partial z}}{\frac {dz}{dx_{0}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/45e03d99e13dc5490a54baea848350394e780dfb)
Multiplions la première équation de Lagrange par
la deuxième par
la troisième par
et ajoutons : il vient
![{\displaystyle {\frac {du}{dt}}{\frac {dx}{dx_{0}}}+{\frac {dv}{dt}}{\frac {dy}{dx_{0}}}+{\frac {dw}{dt}}{\frac {dz}{dx_{0}}}={\frac {d\psi }{dx_{0}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72183c3f5e0643bf8cebf8a9a2d1511515cece1c)
et deux autres équations analogues obtenues par symétrie.
21. On peut d'ailleurs donner à ces équations une forme
plus générale en substituant
trois autres variables,
définies par trois relations quelconques :
![{\displaystyle {\begin{aligned}x_{0}&=\varphi _{0}(a,b,c)\\y_{0}&=\varphi _{1}(a,b,c)\\z_{0}&=\varphi _{2}(a,b,c)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a002e042d48d46aebfa789e5949c5c5b1bf26da7)
ne dépendant pas de
. Les dérivées par rapport à
seront les mêmes dans les deux systèmes de variables.
Faisons la même opération que précédemment et nous trouverons :
![{\displaystyle {\frac {du}{dt}}{\frac {dx}{da}}+{\frac {dv}{dt}}{\frac {dy}{da}}+{\frac {dw}{dt}}{\frac {dz}{da}}={\frac {d\psi }{da}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b986eb0d5059bec34835df85a776cc7268af343)
et deux autres en changeant
en
et en
Nous aurons finalement le système :
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