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DÉMONSTRATION DE KIRCHHOFF

Nous avons :

${\frac {d\psi }{dx_{0}}}={\frac {\partial \psi }{\partial x}}{\frac {dx}{dx_{0}}}+{\frac {\partial \psi }{\partial y}}{\frac {dy}{dx_{0}}}+{\frac {\partial \psi }{\partial z}}{\frac {dz}{dx_{0}}}.$

Multiplions la première équation de Lagrange par ${\tfrac {dx}{dx_{0}}},$ la deuxième par ${\tfrac {dy}{dx_{0}}},$ la troisième par ${\tfrac {dz}{dx_{0}}}$ et ajoutons : il vient

${\frac {du}{dt}}{\frac {dx}{dx_{0}}}+{\frac {dv}{dt}}{\frac {dy}{dx_{0}}}+{\frac {dw}{dt}}{\frac {dz}{dx_{0}}}={\frac {d\psi }{dx_{0}}}.$

et deux autres équations analogues obtenues par symétrie.

21. On peut d'ailleurs donner à ces équations une forme plus générale en substituant $x_{0},y_{0},z_{0}$ trois autres variables, $a,b,c,$ définies par trois relations quelconques :

${\begin{aligned}x_{0}&=\varphi _{0}(a,b,c)\\y_{0}&=\varphi _{1}(a,b,c)\\z_{0}&=\varphi _{2}(a,b,c)\end{aligned}}$

$a,b,c$ ne dépendant pas de $t$. Les dérivées par rapport à $t$ seront les mêmes dans les deux systèmes de variables.

Faisons la même opération que précédemment et nous trouverons :

${\frac {du}{dt}}{\frac {dx}{da}}+{\frac {dv}{dt}}{\frac {dy}{da}}+{\frac {dw}{dt}}{\frac {dz}{da}}={\frac {d\psi }{da}}$

et deux autres en changeant $a$ en $b$ et en $c.$

Nous aurons finalement le système :

(19)

$\left\{{\begin{aligned}&(1)\quad &\sum {\frac {du}{dt}}{\frac {dx}{da}}={\frac {d\psi }{da}}.\\&(2)\quad &\sum {\frac {du}{dt}}{\frac {dx}{db}}={\frac {d\psi }{db}}.\\&(3)\quad &\sum {\frac {du}{dt}}{\frac {dx}{dc}}={\frac {d\psi }{dc}}.\end{aligned}}\right.$