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THÉORÈME DE HELMHOLTZ

Différentions (1) par rapport à $b$, (2) par rapport à $a$, et retranchons :

$\sum \left({\frac {d^{2}u}{dtdb}}{\frac {dx}{da}}-{\frac {d^{2}u}{dtda}}{\frac {dx}{db}}\right)=0$

ou, comme il est facile de le vérifier :

${\frac {d}{dt}}\sum \left({\frac {du}{db}}{\frac {dx}{da}}-{\frac {du}{da}}{\frac {dx}{db}}\right)=0,$

et enfin :

(20)

${\begin{aligned}&{\frac {du}{db}}{\frac {dx}{da}}-{\frac {du}{da}}{\frac {dx}{db}}\\+\,&{\frac {dv}{db}}{\frac {dy}{da}}-{\frac {dv}{da}}{\frac {dy}{db}}\\+\,&{\frac {dw}{db}}{\frac {dz}{da}}-{\frac {dw}{da}}{\frac {dz}{db}}={\textrm {const.}}\end{aligned}}$

On obtient deux autres équations analogues en permutant circulairement $a,b,c$ et changeant la valeur de la constante.

21 bis. Ces équations de Kirchhoff sont équivalentes, comme nous allons le montrer à celle que nous avons donnée au début :

$\mathrm {J} =\int udx+vdy+wdz={\textrm {const.}}$

Considérons, en effet, un point $\mathrm {M}$ dont les coordonnées soient $(x,y,z)$ dans le système d’Euler, ou $a,b,c,t$ dans celui de Kirchhoff : $x,y,z$ varient avec $t,$ mais $a,b,c$ sont indépendants de $t$ et dépendent seulement de $x_{0},y_{0},z_{0}.$ Le point $\mathrm {M}$ appartient à une certaine courbe $\mathrm {C} \ :$ je puis choisir $a,b,c$ de manière que, pour tous les points de cette courbe, $c=0.$ Si cette condition est remplie à l’instant $t=0,$ elle le sera encore à toute autre époque.