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CAS PARTICULIER

Supposons, en particulier, que nous ayons un tube tourbillonnaire dont la section par le plan des $xy$ soit un cercle de
Fig. 21. rayon $\mathrm {R} ,$ à l’intérieur de ce cercle $\zeta ={\textrm {const}}\ ;$ à l’extérieur, $\zeta =0,$ et il y a une fonction des vitesses. Prenons comme origine le centre du cercle. Soit $\mathrm {M}$ un point quelconque (fig. 21). Posons :

$\mathrm {OM} =\rho ={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}.$

Par raison de symétrie, la vitesse $\mathrm {V}$ du point $\mathrm {M}$ est perpendiculaire au rayon vecteur $\mathrm {OM} :$

$u=-\mathrm {V} {\frac {y}{\rho }}\qquad v=\mathrm {V} {\frac {x}{\rho }}$

et $\mathrm {V}$ ne dépend que de $\rho .$ Prenons l’intégrale

$\mathrm {J} =\int \left(udx+vdy\right)=\int 2\zeta d\omega$

le long de la circonférence décrite de $o$ comme centre avec le rayon $\mathrm {OM} =\rho :\textstyle \int udx+vdy$ représente le travail que produirait sur un point matériel décrivant la circonférence une force représentée par le vecteur $(u,v,w)$ qui est la vitesse ; ce vecteur a une grandeur constante et est dirigé en tous les points suivant la tangente à la circonférence, par conséquent :

$\int \left(udx+vdy\right)2\pi \rho \mathrm {V} .$