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DÉTERMINATION DES COMPOSANTES DE LA VITESSE

Tous les tourbillons sont parallèles à $oz,$ tous les tubes tourbillonnaires sont des cylindres ayant $oz$ pour axe.

Suivons un de ces tubes dans son mouvement : je dis que sa section droite demeure constante.

Considérons en effet une portion du liquide limitée par la surface du tube tourbillonnaire et par deux sections droites distantes de $h.$

Si nous appelons $\omega$ l’aire de cette section droite, le volume du liquide est $h_{\omega }.$

Le liquide étant incompressible, ce volume reste constant. D’autre part, le tube de tourbillon se conservant, le volume reste cylindrique. Une molécule qui, à l’origine des temps, est située dans une section droite du tube, y restera toujours, puisque sa vitesse est située dans ce plan : les deux sections qui limitent le cylindre resteront toujours à la même distance. Puisque $h_{\omega }$ et $h$ sont constants, il s’ensuit que $\omega$ est constant.

Si, en particulier, nous considérons un tube tourbillonnaire de section infiniment petite $d\omega ,$ son moment $\mu$ est donné par :

$\mu =2d\omega .\zeta$

$d\omega$ doit être constant ; $\mu$ aussi ; donc $\zeta$ est constant et :

${\frac {d\zeta }{dt}}=0,$

$\left({\tfrac {d\zeta }{dt}}\right.$ et non ${\tfrac {\partial \zeta }{\partial t}},$ car nous suivons une molécule dans son mouvement, c’est-à-dire que nous adoptons les variables de Lagrange).

58. Le cas que nous venons de traiter est celui que Helmholtz appelle le cas des tourbillons rectilignes :