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MOUVEMENT DES TUBES TOURBILLONNAIRES

Effectuons les différentiations :

${\begin{aligned}{\frac {\partial \left(u^{2}-v^{2}\right)}{\partial y}}-{\frac {2\partial (uv)}{\partial x}}&=2u{\frac {\partial u}{\partial y}}-2v{\frac {\partial v}{\partial y}}-2u{\frac {\partial v}{\partial x}}-2v{\frac {\partial u}{\partial x}}\\&=-2v\left({\frac {\partial u}{\partial x}}+{\frac {\partial v}{\partial y}}\right)-2u\left({\frac {\partial v}{\partial x}}+{\frac {\partial u}{\partial y}}\right).\end{aligned}}$

Mais, d’après l’équation de continuité, nous avons

${\frac {\partial u}{\partial x}}+{\frac {\partial v}{\partial y}}=0,$

et, d’autre part, par définition :

$\left({\frac {\partial v}{\partial x}}+{\frac {\partial u}{\partial y}}\right)=2\zeta .$

Donc :

$\int \left[\left(u^{2}-v^{2}\right)dx+2uvdy\right]=-4\int u\zeta d\omega .$

La première intégrale étant nulle, la seconde l’est aussi ; donc :

${\frac {dx_{0}}{dt}}=0.$

De même on démontrerait que :

${\frac {dy_{0}}{dt}}=0.$

et par suite que le point G est fixe.

66. Mouvement du centre de gravité d’un tube tourbillonnaire. — Je vais étudier maintenant le mouvement du centre de gravité de l’un de ces tubes tourbillonnaires. Nous