Page:Poincaré - Théorie des tourbillons, 1893.djvu/83

75

MOUVEMENT DU CENTRE DE GRAVITÉ D’UN TUBE

avons :

${\frac {dx_{0}}{dt}}\int \zeta d\omega =\int u\zeta d\omega .$

Posons :

$u=u'+u'',$

$u'$ étant la vitesse due au tube considéré s’il existait seul, $u''$ la vitesse due aux autres.

$\int u\zeta d\omega =\int u'\zeta d\omega +\int u''\zeta d\omega .$

L’intégrale $\textstyle \int u'\zeta d\omega$ est nulle, car, si le premier tube existait seul, son centre de gravité serait fixe.

Par conséquent, si nous voulons déterminer la vitesse du centre de gravité de l’un des tubes tourbillonnaires, il suffira de tenir compte des vitesses communiquées par les autres tourbillons.

67. Soient $a_{1},$ $a_{2},\ldots ,$ $a_{n}$ les tubes tourbillonnaires. Posons :

${\begin{aligned}\rho _{12}&={\overline {a_{1}a_{2}}}\\\rho _{13}&={\overline {a_{1}a_{3}}},\end{aligned}}$

et d’une manière générale

$\rho _{ik}={\overline {a_{i}a_{k}}}.$

Considérons la fonction :

(2)

$\mathrm {P} =\sum m_{i}m_{k}\log \rho _{i,k}.$

$\mathrm {P}$ est une fonction des $2n$ coordonnées $x_{1}y_{1},$ $x_{2}y_{2},\ldots ,$ $x_{n}y_{n}.$