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THÉORÈME DES FORCES VIVES

Considérons l’intégrale :

(7)

$\int \left(vdy+udx\right)\psi$

Prise le long d’un cercle de rayon très grand, cette intégrale est nulle, puisque nous avons supposé [72] que la somme algébrique des moments de tous les tubes est nulle ; il arrive alors que $u$ et $v$ sont du second ordre, la longueur de la circonférence étant infiniment grande du premier ordre seulement. Transformons-la par le théorème de Stokes :

$\int \left({\frac {d\left(\psi v\right)}{dx}}-{\frac {d\left(\psi u\right)}{dy}}\right)d\omega =0.$

ou en effectuant les différentiations :

$\int \psi \left({\frac {dv}{dx}}-{\frac {du}{dy}}\right)d\omega +\int \left(v{\frac {d\psi }{dx}}-u{\frac {d\psi }{dy}}\right)d\omega =0.$

Or :

${\begin{aligned}2\zeta ={\frac {dv}{dx}}-{\frac {du}{dy}}\\{\frac {d\psi }{dx}}=v\qquad {\frac {d\psi }{dy}}=-u.\end{aligned}}$

Donc :

(8)

$4\pi \mathrm {P} +\int \left(v^{2}+u^{2}\right)d\omega =0.$

$\mathrm {P}$ représente donc, à un facteur constant près, la force vive $\textstyle \int \left(v^{2}+u^{2}\right)d\omega$ et par conséquent cette force vive est constante.