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MOUVEMENT DES TUBES TOURBILLONNAIRES

75. Théorème. — Le moment d'inertie des masses $m$ par rapport à l'axe $Oz$ est une constante.

Imprimons à tout le système une rotation infiniment petite $\epsilon$ autour de l'axe des $z.$ En négligeant les infiniment petits du second ordre, les coordonnées $x_{i}$ et $y_{i}$ deviennent :

$x_{i}-y_{i}\epsilon \qquad y_{i}+x_{i}\epsilon$

$\mathrm {P} ,$ qui ne dépend [71] que des distances $\rho _{ik},$ ne changera pas.

Écrivons donc que $d\mathrm {P} =0,$ il viendra :

$\sum -{\frac {d\mathrm {P} _{i}}{dx_{i}}}y_{i}\epsilon +\sum {\frac {d\mathrm {P} }{dy_{i}}}x_{i}\epsilon =0$

ou

$\sum \left(x_{i}{\frac {d\mathrm {P} }{dy_{i}}}-y_{i}{\frac {d\mathrm {P} }{dx_{i}}}\right)=0.$

Dans la comparaison électrostatique, cette équation signifie que la somme des moments des attractions qu’exercent l’une sur l’autre les droites électrisées, prise par rapport à l’axe des $z,$ est nulle. Ceci est évident puisque les attractions sont deux à deux égales et de signes contraires.

Si nous remplaçons ${\tfrac {d\mathrm {P} }{dy_{i}}}$ et ${\tfrac {d\mathrm {P} }{dx_{i}}}$ par leurs valeurs $m_{i}{\tfrac {dx_{i}}{dt}}$ et $-m_{i}{\tfrac {dy_{i}}{dt}},$ on trouve :

$\sum m_{i}\left(x_{i}{\frac {dx_{i}}{dt}}+y_{i}{\frac {dy_{i}}{dt}}\right)=0.$

ou en intégrant :

(9)

$\sum m_{i}\left(x_{i}^{2}+y_{i}^{2}\right)={\textrm {const.}}$