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Enfin, admettons que l’on ait $f=r^{2}$ : il vient alors, en portant cette valeur dans l’expression (6),

$\Delta \pi =2C$

et, en calculant les dérivées de $\pi =r$,

$\Delta \pi ={\frac {2}{r}};$

par conséquent,

$C={\frac {1}{r}}.$

L’expression (6) de $\Delta \pi$ se réduit donc à

$\Delta \pi ={\frac {1}{r}}{\frac {d^{2}f}{dr^{2}}}.$

77. Remplaçons, dans la relation (4), $\Delta \pi$ par la valeur précédente et ${\frac {d^{2}\pi }{dt^{2}}}$ par sa valeur déduite de (5) ; nous obtenons :

${\frac {d^{2}f}{dt^{2}}}={\frac {C}{c}}p\nu {\frac {d^{2}f}{dr^{2}}},$

ou

${\frac {d^{2}f}{dt^{2}}}=a^{2}{\frac {d^{2}f}{dr^{2}}},$

en posant

$a^{2}={\frac {C}{c}}p\nu .$

Nous en déduisons, pour la valeur de la fonction f,

$f=f(r-at)+f'(r+at)$

et, par suite,

$\pi ={\frac {1}{r}}f(r-at)+{\frac {1}{r}}f'(r+at).$

Les variations de pression se propagent donc suivant