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en appelant E₁ et E₂ les forces électromotrices des deux piles.

Nous devons donc vérifier l’égalité

${\begin{aligned}dT=&-{\frac {1}{2}}(i_{1}^{2}dL+2i_{1}i_{2}dM+i_{2}^{2}dN)\\&-(R_{1}i_{1}^{2}dt+R_{2}i_{2}^{2}dt)+E_{1}i_{1}dt+E_{2}i_{2}dt\end{aligned}}$.

Or on sait que la force électromotrice d’induction développée dans l’un des circuits a pour expression

$-{\frac {d}{dt}}(Li_{1}+Mi_{2})$ ;

par conséquent le produit $R_{1}i_{1}$, qui, d’après la loi d’Ohm, est égal à la force électromotrice totale, a pour valeur

$R_{1}i_{1}=E_{1}-{\frac {d}{dt}}(Li_{1}+Mi_{2})$.

Nous en déduisons

$E_{1}i_{1}dt-R_{1}i_{1}^{2}dt=i_{1}d(Li_{1}+Mi_{2})$.

Nous aurions une égalité analogue pour l’autre circuit, et, par suite, nous pouvons écrire l’égalité qu’il s’agit de vérifier

${\begin{aligned}dT=&-{\frac {1}{2}}(i_{1}^{2}dL+2i_{1}i_{2}dM+i_{2}^{2}dN)\\&+i_{1}d(Li_{1}+Mi_{2})+i_{2}d(Mi_{1}+Ni_{2})\end{aligned}}$

ou, en effectuant les différenciations et simplifiant,

${\begin{aligned}dT=&{\frac {1}{2}}(i_{1}^{2}dL+2i_{1}i_{2}dM+i_{2}^{2}dN)\\&+Li_{1}di_{1}+Mi_{2}di_{2}+Mi_{1}di_{2}+Ni_{2}di_{2}\end{aligned}}$.

Or, le second membre est bien l’expression de la différen-