positive quelconque, ou zéro, on en conclura
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mu \int _{\alpha }^{\infty }{\frac {x^{n}dx}{(1+x)^{\mu +1}}}&=\mathrm {C} -{\tfrac {\alpha ^{n}}{(1+\alpha )^{\mu }}}-{\tfrac {n}{\mu -1}}{\tfrac {\alpha ^{n-1}}{(1+\alpha )^{\mu -1}}}-{\tfrac {n\,{.}\,n-1}{\mu -1\,{.}\,\mu -2}}{\tfrac {\alpha ^{n-2}}{(1+\alpha )^{\mu -2}}}\\\ldots &-{\tfrac {n\,{.}\,n-1\,{.}\,n-2\,\ldots \,2\,{.}\,1}{\mu -1\,{.}\,\mu -2\,{.}\,\mu -3\,\ldots \,\mu -n+1\,{.}\,\mu -n}}{\tfrac {1}{(1+\alpha )^{\mu -n}}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2bbe9bca741c4e542633fec2973ccc7c21016dd3)
Dans le cas de
, cette équation se réduit à
![{\displaystyle \mu \int _{0}^{\infty }{\frac {x^{n}dx}{(1+x)^{\mu +1}}}={\frac {n\,{.}\,n-1\,{.}\,n-2\,\ldots \,2\,{.}\,1}{\mu -1\,{.}\,\mu -2\,{.}\,\mu -3\,\ldots \,\mu -n+1\,{.}\,\mu -n}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bac7c265548eb046876e21aa7d142b153c580b47)
;
et en divisant l’équation précédente par celle-ci, et faisant, pour abréger
![{\displaystyle {\frac {x^{n}}{(1+x)^{\mu +1}}}=\mathrm {X} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59c5157506b6524283221b8a20c93e23f3deb5fb)
,
on obtient facilement
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\int _{\alpha }^{\infty }\mathrm {X} dx}{\int _{0}^{\infty }\mathrm {X} dx}}={\frac {1}{(1+\alpha )^{m}}}&\left[1+m\,{\frac {\alpha }{1+\alpha }}+{\frac {m\,{.}\,m+1}{1\,{.}\,2}}{\frac {\alpha ^{2}}{(1+\alpha )^{2}}}+\ldots \right.\\\ldots &+\left.{\frac {m\,{.}\,m+1\,{.}\,m+2\ldots m+n-1}{1\,{.}\,2\,{.}\,3\ldots n}}{\frac {\alpha ^{n}}{(1+\alpha )^{n}}}\right].\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc0935fcfc57d2527e9e7ff3e33504c8a14e6bde)
Or, si l’on prend
![{\displaystyle \alpha ={\frac {p}{q}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c226a07cec9a523f3dff5e8cffbdff1fe3152b5)
,
et si l’on observe qu’on a
, le second membre de cette dernière équation coïncidera avec la formule (9) ; pour cette valeur de
, nous aurons donc
|
.
|
(10)
|
Dans le cas de
et
,
est la probabilité que E arrivera au moins
fois, ou à toutes les épreuves ; par conséquent,
doit