des rangs déterminés, serait
; en prenant deux à deux les
premiers rangs pour y placer F, ou a
combinaisons différentes ; la probabilité du troisième cas favorable à G aura donc
pour valeur.
En continuant ainsi, on arrivera enfin au
ième cas, dans lequel les
épreuves amèneront
fois E et
fois F, sans que F occupe le dernier rang, afin que ce cas ne rentre dans aucun des précédents ; et sa probabilité sera
![{\displaystyle {\frac {m\,{.}\,m+1\,{.}\,m+2\ldots m+n-1}{1\,{.}\,2\,{.}\,3\ldots n}}p^{m}q^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2125b7b658e670af5f71ea8a1601b4989e49e928)
.
Ces
cas étant distincts les uns des autres, et présentant toutes les manières différentes dont l’événement G puisse avoir lieu, sa probabilité complète sera la somme de leurs probabilités respectives (no 10) ; en sorte que nous aurons
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(9)
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expression qui doit coïncider avec la formule (8), mais qui a l’avantage de pouvoir se transformer aisément en intégrales définies, dont les valeurs numériques pourront être calculées par la méthode du no 67, avec d’autant plus d’approximation que
et
seront de plus grands nombres.
(74). Pour effectuer cette transformation, j’observe qu’en intégrant
fois de suite par partie, et désignant par
une constante arbitraire, on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mu \int {\frac {x^{n}dx}{(1+x)^{\mu +1}}}&=\mathrm {C} -{\tfrac {x^{n}}{(1+x)^{\mu }}}-{\tfrac {n}{\mu -1}}{\tfrac {x^{n-1}}{(1+x)^{\mu -1}}}-{\tfrac {n\,{.}\,n-1}{\mu -1\,{.}\,\mu -2}}{\tfrac {x^{n-2}}{(1+x)^{\mu -2}}}\\\ldots &-{\tfrac {n\,{.}\,n-1\,{.}\,n-2\,\ldots \,2\,{.}\,1}{\mu -1\,{.}\,\mu -2\,{.}\,\mu -3\,\ldots \,\mu -n+1\,{.}\,\mu -n}}{\tfrac {1}{(1+x)^{\mu -n}}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c57bd7f85ffd7dfe8b1415c759c447ea269e6db1)
Comme on a
, tous les termes de cette formule, excepté
, disparaissent quand
; si donc on désigne par
une quantité