avoir
pour valeur ; et, en effet, pour
, on a,
![{\displaystyle \int _{\alpha }^{\infty }\mathrm {X} dx={\frac {1}{\mu (1+\alpha )^{\mu }}}={\frac {1}{\mu }}p^{\mu }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/52608a95c4fc845431d8e308b7344612137bd6a7)
,
![{\displaystyle \int _{0}^{\infty }\mathrm {X} dx={\frac {1}{\mu }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf73debdba4b99e7de200905d6037e58aa2863b8)
,
![{\displaystyle \mathrm {P} =p^{\mu }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b59b11aab824170560420af2a210095191a4269b)
.
Dans le cas de
et
,
est la probabilité que E arrivera au moins une fois, ou que F n’arrivera pas à toutes les épreuves ; on doit donc avoir
![{\displaystyle \mathrm {P} =1-q^{\mu }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab3fca999f7dec9c62850138d51fedaaf6b9f5bc)
;
ce que l’on peut aussi vérifier. Pour cela, je fais
![{\displaystyle c={\frac {1}{y}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/163a6e5d706d78bd41186b68546d49e93084cd51)
,
![{\displaystyle dx=-{\frac {dy}{y^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da7b38c31f0f6dac052daab31fded714e3d1f0d5)
,
![{\displaystyle \alpha ={\frac {1}{\beta }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a86d72ca99ec84fa7e68f36cfacee256218f1bd)
;
pour
, il en résulte
![{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{\alpha }^{\infty }\mathrm {X} dx&=\int _{0}^{\beta }{\frac {dy}{(1+y)^{\mu +1}}}={\frac {1}{\mu }}\left[1-{\frac {1}{(1+\beta )^{\mu }}}\right],\\\int _{0}^{\infty }\mathrm {X} dx&=\int _{0}^{\infty }{\frac {dy}{(1+y)^{\mu +1}}}={\frac {1}{\mu }}\;;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b05cd3af00df21b13f9d36159110620da3f340f)
et à cause de
![{\displaystyle \beta ={\frac {1}{\alpha }}={\frac {p}{q}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8331e3b46b9ce0b29d017038cf5e1c4bed60c343)
,
![{\displaystyle {\frac {1}{1+\beta }}=q}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/41d8dbfca158902f8c69e6d7eae245dab6c71f53)
,
la formule (10) coïncide avec la valeur précédente de
.
(75). Appliquons d’abord la méthode du no 67 à l’intégrale
.
En appelant, comme dans ce numéro,
la valeur de
qui répond au maximum de
, et
la valeur correspondante de
, l’équation
, qui servira à déterminer
sera
![{\displaystyle n(1+h)-(\mu +1)h=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6cebf2f477b0ef89a3b3eeb629b6f3cc672c3af)
,
d’où l’on conclut
![{\displaystyle h={\frac {n}{m+1}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b78f36733bb44119ab0ab3ed2a865d6f53435a2)
,
![{\displaystyle \mathrm {H} ={\frac {n^{n}(m+1)^{m+1}}{(\mu +1)^{\mu +1}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/caedf1333188db47b8a221728822a5a8c82dc05f)
.