à cause de
, et en ayant égard à la valeur précédente de
, on en déduit
![{\displaystyle e^{-\theta ^{2}}=\left[{\frac {q\,(\mu +1)}{n}}\right]^{n}\left[{\frac {p\,(\mu +1)}{m+1}}\right]^{m+1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd2ef27cf4407663e214d99c0b7e65719f959042)
;
d’où l’on tire
, en faisant, pour abréger,
|
.
|
(12)
|
En considérant
comme une quantité positive, il faudra donc prendre
, lorsqu’on aura
, et
, quand on aura
; par conséquent, d’après la transformation du numéro cité, nous aurons, dans le premier cas,
![{\displaystyle \int _{\alpha }^{\infty }\mathrm {X} dx=\mathrm {H} \int _{k}^{\infty }e^{-t^{2}}{\frac {dx'}{dt}}\,dt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f441fec64d84aff2178013f524e8b9ae65f95f8a)
,
et, dans le second,
![{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{\alpha }^{\infty }\mathrm {X} dx&=\mathrm {H} \int _{-k}^{\infty }e^{-t^{2}}{\frac {dx'}{dt}}\,dt\\&=\mathrm {H} \int _{-\infty }^{\infty }e^{-t^{2}}{\frac {dx'}{dt}}\,dt-\mathrm {H} \int _{-\infty }^{-k}e^{-t^{2}}{\frac {dx'}{dt}}\,dt,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6eaa9bde72e22338f0bfde173c394c2b01770b0e)
en faisant, comme dans ce no 67,
![{\displaystyle {\frac {dx'}{dt}}=h'+2h''t+3h'''t^{2}+{\text{etc.}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ac60250bff7a8ab61d3daabec6389b22cdcd7e0)
On a d’ailleurs
![{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{-\infty }^{-k}e^{-t^{2}}t^{2i+1}dt&=-\int _{k}^{\infty }e^{-t^{2}}t^{2i+1}dt,\\\int _{-\infty }^{-k}e^{-t^{2}}t^{2i}dt&=\int _{k}^{\infty }e^{-t^{2}}t^{2i}dt\;;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ecd20aa680ca5a01333d4f781179503594c955a8)
étant un nombre entier et positif, ou zéro. Si donc on fait généralement
![{\displaystyle \int _{k}^{\infty }e^{-t^{2}}t^{2i}dt=\mathrm {K} _{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba21adec8e6c43036f31bc42a42ad215526654cb)
,
![{\displaystyle \int _{k}^{\infty }e^{-t^{2}}t^{2i+1}dt=\mathrm {K'} _{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/08cbe5418c1edd77c67449a267e5b48d90590e08)
,