Si l’on fait, dans les équations (2),
![{\displaystyle \mathrm {H} ={\frac {h^{n}}{(1+h)^{\mu +1}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6501b41f2d73cbd7cadac60af0275f6e094105af)
,
et qu’après avoir effectué les différentiations relatives à
, on y mette pour cette quantité, sa valeur précédente, on en déduit
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{2}&h'&{}={}&{\sqrt {\frac {2(\mu +1)n}{(m+1)^{3}}}},\\&h''&{}={}&{\frac {2(\mu +1+n)}{3(m+1)^{2}}},\\\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e4441ba77fa2724e01056cc84b4ccfa4695e32f4)
etc.
et lorsque
,
,
, seront de très grands nombres et du même ordre de grandeur, il est aisé de voir que ces valeurs des quantités
,
,
, etc., formeront une série très rapidement décroissante, dont le premier terme
sera du même ordre de petitesse que la fraction
, le second
de l’ordre de
, le troisième
de l’ordre de
, et ainsi de suite.
Cela posé, nous aurons, pour la valeur en série de l’intégrale donnée,
|
.
|
(11)
|
(76). L’expression de l’autre intégrale
contenue dans la formule (10) sera différente selon qu’on aura
ou
en désignant toujours par
la valeur de
qui répond au maximum de
.
En effet, la variable que l’on a représentée par
dans la transformation du no 67, doit être positive pour toutes les valeurs de
supérieures à
, et négative pour toutes les valeurs de
moindres que
; or, si l’on appelle
et
les valeurs de
et de
, qui répondent à
, on aura
![{\displaystyle \mathrm {A} ={\frac {\alpha ^{n}}{(1+\alpha )^{\mu +1}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/15b57cc902eff2cd66ef6c058d26514c1f89ab6e)
,
![{\displaystyle \mathrm {A} =\mathrm {H} e^{-\theta ^{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba5f10c46735940315b5e10bf8a5416e133d1c80)
;