et, en faisant aussi
![{\displaystyle {\frac {\nu }{\mu }}{\sqrt {\frac {2mn}{\mu }}}-{\frac {\alpha }{\sqrt {\mu '}}}=v_{\prime }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aba02963d3838cc084e8394a09cc93c7748aedf2)
,
les valeurs de
et
du numéro précédent pourront s’écrire sous cette forme :
![{\displaystyle p={\frac {m'}{\mu '}}-v_{\prime }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/544d47d1fee49df8947df1deff2fd80105cc875f)
,
![{\displaystyle q={\frac {n'}{\mu '}}+v_{\prime }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d11631034c049e40ff9259a083f446e3f3a5107e)
.
En les substituant dans la valeur de
, il vient
![{\displaystyle \Pi =\mathrm {U'} \left(1-{\frac {\mu 'v_{\prime }}{m'}}\right)^{\!m'}\left(1+{\frac {\mu 'v_{\prime }}{n'}}\right)^{\!n'}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e6de7c03cc13ae50c8ec1cb85805098fd76d69e)
.
Les quantités
et
étant de l’ordre de petitesse de la fraction
ou
, on aura, en séries très convergentes,
![{\displaystyle {\begin{aligned}\log {\!\left(1-{\frac {\mu 'v_{\prime }}{m'}}\right)}&=-{\frac {\mu 'v_{\prime }}{m'}}-{\frac {\mu '^{2}v_{\prime }^{2}}{2m'^{2}}}-{\frac {\mu '^{3}v_{\prime }^{3}}{3m'^{3}}}-{\text{etc.}},\\\log {\!\left(1+{\frac {\mu 'v_{\prime }}{n'}}\right)}&={\frac {\mu 'v_{\prime }}{n'}}-{\frac {\mu '^{2}v_{\prime }^{2}}{2n'^{2}}}+{\frac {\mu '^{3}v_{\prime }^{3}}{3n'^{3}}}-{\text{etc.}}\;;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f38a79ed0d7297aa0da45ef2bdd3e2788255056)
d’où l’on déduit
![{\displaystyle {\begin{aligned}\left(1-{\frac {\mu 'v_{\prime }}{m'}}\right)^{\!m'}&=e^{-\mu 'v_{\prime }}e^{-{\frac {\mu '^{2}v_{\prime }^{2}}{2m'}}}e^{-{\frac {\mu '^{3}v_{\prime }^{3}}{3m'^{2}}}}{\text{etc.}},\\\left(1+{\frac {\mu 'v_{\prime }}{n'}}\right)^{\!n'}&=e^{\mu 'v_{\prime }}e^{-{\frac {\mu '^{2}v_{\prime }^{2}}{2n'}}}e^{\frac {\mu '^{3}v_{\prime }^{3}}{3n'^{2}}}{\text{etc.}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2c7fbd85fcd797a0bcdf1b9515f0d0ce7639a01)
Mais à cause du facteur
de
, qui est déjà de l’ordre de petitesse de
, on pourra négliger les quantités de cet ordre dans les deux autres facteurs ; ce qui permettra de réduire toutes les exponentielles à l’unité, à partir de la troisième, dans chacun de ces