coefficients de
sous les signes
, au-delà de la limite assignée à
, il s’ensuit que sans altérer sensiblement les intégrales relatives à cette variable, on pourra les étendre, comme plus haut, depuis
jusqu’à
. Soit, en outre,
![{\displaystyle {\frac {\alpha \mu '}{\sqrt {2m'n'}}}=\pm \beta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e07a03a14ccc1f2c290d69716881daf1463b3693)
,
![{\displaystyle {\frac {\mu '{\sqrt {\mu 'mn}}}{\mu {\sqrt {\mu m'n'}}}}=\gamma }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/007d63d1ea4e5de95e90f04ebc0257ec92dff3ec)
,
![{\displaystyle t=\theta \mp \gamma v}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e9f59de941dafa711c03136ed47079d49169418b)
,
![{\displaystyle dt=d\theta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d2629596e830960e52d7a7ad3fa85d90e035f42d)
;
étant une quantité positive, et les signes supérieurs ou inférieurs ayant lieu selon que
sera une quantité positive ou négative. Dans la première expression de
, qui suppose
positive, on prendra donc
![{\displaystyle k'=\beta -\gamma v}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/95df6bd6e7fac0d035c2f983f7dc5c3cc8181ea5)
,
![{\displaystyle t=\theta -\gamma v}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b0a13648b862c3d70019c2d8799b71e97377b9d0)
;
et les limites des intégrales relatives à la nouvelle variable
seront
et
. Dans la seconde expression de
, qui se rapporte au cas de
négative, on devra prendre
![{\displaystyle k'=-\beta -\gamma v}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c581bf2f2d0b4f1bb36b34b6591c507b8d6ca478)
,
![{\displaystyle t=\theta +\gamma v}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a1a08b47efad03f0ac06aaade6b79240f5f6c2c)
;
et les limites de cette intégrale seront encore
et
. De cette manière, on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}\Pi '&=1-{\frac {1}{\pi }}\int _{\beta }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }e^{-\theta ^{2}+2\gamma \theta v-(1+\gamma ^{2})v^{2}}d\theta dv\\&\qquad +{\frac {2n'}{\sqrt {2\pi \mu 'm'n'}}}\int _{-\infty }^{\infty }e^{-\beta ^{2}+2\gamma \theta v-(1+\gamma ^{2})v^{2}}dv\\&\qquad +{\frac {2(m-n)}{3\pi {\sqrt {2\mu mn}}}}\int _{\beta }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }e^{-\theta ^{2}+2\gamma \theta v-(1+\gamma ^{2})v^{2}}v^{3}d\theta dv,\\\Pi '&={\frac {1}{\pi }}\int _{\beta }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }e^{-\theta ^{2}+2\gamma \theta v-(1+\gamma ^{2})v^{2}}d\theta dv\\&+{\frac {2n'}{\sqrt {2\pi \mu 'm'n'}}}\int _{-\infty }^{\infty }e^{-\beta ^{2}+2\gamma \theta v-(1+\gamma ^{2})v^{2}}dv\\&-{\frac {2(m-n)}{3\pi {\sqrt {2\mu mn}}}}\int _{\beta }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }e^{-\theta ^{2}+2\gamma \theta v-(1+\gamma ^{2})v^{2}}v^{3}d\theta dv.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c7f5eca34b10ab00dd1dcb00383d61fe9b29edab)