Les intégrations relatives à
s’effectueront sans difficulté, en sorte que la probabilité
qu’il s’agissait de déterminer ne renfermera plus qu’une intégrale simple relative à
. À cause de
![{\displaystyle \alpha =\pm {\frac {\beta {\sqrt {2m'n'}}}{\mu '}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1eef6c0588b433720050c0b0b3c73d6627637f0f)
,
la première valeur de
sera la probabilité que le nombre
n’excédera pas
, qui surpasse très peu
, et sa seconde valeur exprimera la probabilité que
n’excédera pas
, qui est un peu moindre que
.
(87). On peut remarquer qu’à raison des limites
, relatives à
, les deux premières intégrales sont les mêmes dans les deux valeurs de
, et la troisième est la même au signe près. Il en résulte qu’en appelant
l’excès de la première valeur sur la seconde, on aura simplement
![{\displaystyle \varphi =1-{\frac {2}{\pi }}\int _{\beta }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }e^{-\theta ^{2}+2\gamma \theta v-(1+\gamma ^{2})v^{2}}d\theta dv}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7dc34370cec4862d785715685842ac5f70c6fc1)
;
et cette quantité
sera la probabilité que le nombre
surpassera
, sans excéder
.
Si nous faisons
![{\displaystyle v{\sqrt {1+\gamma ^{2}}}-{\frac {\gamma \theta }{\sqrt {1+\gamma ^{2}}}}=z}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe535ff7cfc3e39b981abec9feb44e081e55368e)
,
![{\displaystyle dv={\frac {dz}{\sqrt {1+\gamma ^{2}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/88ce05187c8933e127ef459ebbd3e6a2a2ddaebb)
;
les limites relatives à la nouvelle variable
seront toujours
, et nous aurons
![{\displaystyle \varphi =1-{\frac {2}{\sqrt {\pi (1+\gamma ^{2})}}}\int _{\beta }^{\infty }e^{-{\frac {\theta ^{2}}{1+\gamma ^{2}}}}d\theta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/56777085f0c0d52d3cff1f735f19ee19389d9b6a)
,
ou, ce qui est la même chose,
![{\displaystyle \varphi =1-{\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{u}^{\infty }e^{-t^{2}}dt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e76ad3a9e1a105e81e7a8c94d8b178dcbb918597)
,