tirages, aura pour expression
; le produit de ces deux dernières fonctions sera donc la chance d’amener
boules blanches et
noires, après avoir déjà extrait de A,
boules blanches et
boules noires ; par conséquent, si l’on fait la somme des
valeurs de ce produit, qui répondent à toutes les valeurs entières ou zéro de
et
, dont la somme est
, on aura l’expression complète de la chance d’amener
boules blanches et
noires, après avoir extrait de A un nombre
de boules quelconques. Cela étant, il s’agira de faire voir que cette chance est indépendante de
, et égale à
, c’est à-dire de montrer que l’on a
![{\displaystyle f(a,b,m,n)=\textstyle \sum f(a,b,g,h)f(a-g,b-h,m,n)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ae7ee3aefe55b9a59e924a02565ed4824f4b5bb)
;
la somme
s’étendant depuis
et
, jusqu’à
et
.
Pour cela, j’observe qu’on a, d’après le no 18,
![{\displaystyle f(a,b,m,n)={\frac {\varphi (m,n)\varphi (a-m,b-n)}{\varphi (a,b)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc2e2d6f541d65685da36cfe170af509fb9a0705)
,
en faisant, pour abréger,
![{\displaystyle {\frac {1\,{.}\,2\,{.}\,3\ldots c}{1\,{.}\,2\,{.}\,3\ldots a\,{.}\,1\,{.}\,2\,{.}\,3\ldots b}}=\varphi (a,b)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16f8278238dc251ed3ec665b801c30b112f3c4b3)
,
relativement à des nombres quelconques
et
, dont la somme est
.
Il en résultera
![{\displaystyle f(a,b,g,h)f(a{-}g,b{-}h,m,n)={\frac {\varphi (g,h)\varphi (a{-}g,b{-}g)}{\varphi (a,b)}}\,{.}\,{\frac {\varphi (m,n)\varphi (a{-}g{-}m,b{-}h{-}n)}{\varphi (a{-}g,b{-}h)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c7acc19382d2c5bd52cf59319edcd6239c6dbd49)
,
ou, ce qui est la même chose,
![{\displaystyle f(a,b,g,h)f(a-g,b-h,m,n)={\frac {\varphi (m,n)}{\varphi (a,b)}}\,{.}\,\varphi (g,h)\varphi (a-g-m,b-h-n)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ed239720d10e3dc7575e2e0ed80011e5d4b1ae3)
;
au moyen de quoi, et de la valeur de
, l’équation qu’il s’agit de vérifier deviendra
![{\displaystyle \varphi (a-m,b-n)=\textstyle \sum \varphi (g,h)\,\varphi (a-g-m,b-h-n)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a5fc60b0edf0560eaa61bb05df0619e6d7841684)
,