en supprimant le facteur
, commun à tous les termes de ses deux membres ; et comme
et
sont des nombres quelconques, on y pourra, si l’on veut, mettre
et
au lieu de
et
; ce qui la changera en celle-ci
![{\displaystyle \varphi (a,b)=\textstyle \sum \varphi (g,h)\,\varphi (a-g,b-h)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f57ea675499830d0dde02469d26d8584b3589ee)
.
Or, son premier membre est le coefficient de
, dans le développement de
; son second membre est le coefficient de
, dans le produit des développements de
et
, ou dans le développement de
, comme le premier membre ; par conséquent, les deux membres de cette équation sont identiques ; ce qu’il s’agissait de vérifier.
(91). Supposons actuellement que les nombres
,
,
,
, soient très grands ; les valeurs approchées de
,
,
, et ensuite celle de
, se calculeront au moyen de la série (3) ; et si l’on réduit cette série à son premier terme, on en déduira une valeur de
, que l’on pourra mettre sous la forme}}
![{\displaystyle f(a,b,m,n)=\mathrm {H} \,\left({\frac {a\mu }{cm}}\right)^{\!m}\left({\frac {b\mu }{cn}}\right)^{\!n}\left({\frac {a(c-\mu )}{c(a-m)}}\right)^{\!a-m}\left({\frac {b(c-\mu )}{c(b-n)}}\right)^{\!b-n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/37e89bef5335c5e99221caa36631c428527558c7)
,
en faisant, pour abréger,
![{\displaystyle {\sqrt {\frac {ab\mu (c-\mu )}{2\pi cmn\,(a-m)\,(b-n)}}}=\mathrm {H} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/065c7e9e8d2cfbc95ad0e48646645a102eb89f79)
.
Lorsque
et
, et par conséquent aussi
et
, seront entre eux comme
et
, chacun des quatre derniers facteurs atteindra son maximum et aura l’unité pour valeur. Ils décroîtront très rapidement à mesure que
et
s’écarteront de ce rapport, et deviendront tout-à-fait insensibles, dès que le rapport
ne différera plus très peu de
; en sorte qu’il suffira de considérer la probabilité