qui répond à ; nous aurons
,
pour la probabilité que les nombres et seront compris entre les limites
,
,
ou égaux à l’une d’elles.
La somme se rapportera aux valeurs de comprises depuis jusqu’à , et croissantes par des différences égales à ; mais ou pourra la remplacer par la différence des sommes de , prises depuis jusqu’à , et depuis jusqu’à . Au moyen de la formule d’Euler, déjà employée dans le no 91, cette dernière somme, multipliée par , aura pour valeur,
,
au degré d’approximation où nous devons nous arrêter, c’est-à-dire en négligeant le carré de . Si l’on y fait , on aura aussi
,
pour la somme étendue depuis jusqu’à et multipliée par . Par conséquent, si l’on retranche de cette dernière quantité la précédente, et qu’on divise par , on aura
,
pour la somme comprise dans l’expression de ; et en ayant égard à la valeur de , cette expression deviendra
|
.
|
(3)
|
Lorsque les chances et sont constantes et conséquemment égales aux moyennes et , on a ; ce qui fait coïncider cette formule (3), et les limites précédentes de et , avec