qui répond à
; nous aurons
![{\displaystyle \mathrm {R} ={\frac {1}{k{\sqrt {\pi \mu }}}}+{\frac {2}{k{\sqrt {\pi \mu }}}}{\textstyle \sum e^{-t^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/30e13051282b9bd7e86b6f07eea90690c6c11b80)
,
pour la probabilité que les nombres
et
seront compris entre les limites
![{\displaystyle {p\mu \mp uk{\sqrt {\mu }}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8870fe1a609d6a151ca9d5ed21e896427345172e)
,
![{\displaystyle {q\mu \pm uk{\sqrt {\mu }}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eacebe9a4d7ea7efafaad6943127f38f4ceb71c9)
,
ou égaux à l’une d’elles.
La somme
se rapportera aux valeurs de
comprises depuis
jusqu’à
, et croissantes par des différences égales à
; mais ou pourra la remplacer par la différence des sommes de
, prises depuis
jusqu’à
, et depuis
jusqu’à
. Au moyen de la formule d’Euler, déjà employée dans le no 91, cette dernière somme, multipliée par
, aura pour valeur,
![{\displaystyle \int _{u}^{\infty }e^{-t^{2}}dt-{\frac {\delta }{2}}e^{-u^{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/376a43f4b703c5668887ccd248a12e5f7c0fef8c)
,
au degré d’approximation où nous devons nous arrêter, c’est-à-dire en négligeant le carré de
. Si l’on y fait
, on aura aussi
![{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}{\sqrt {\pi }}-{\tfrac {1}{2}}\delta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/02e807823949e9eead425ca0234fa0a809717b8c)
,
pour la somme étendue depuis
jusqu’à
et multipliée par
. Par conséquent, si l’on retranche de cette dernière quantité la précédente, et qu’on divise par
, on aura
![{\displaystyle {\textstyle \sum e^{-t^{2}}}={\frac {1}{2\delta }}{\sqrt {\pi }}-{\frac {1}{\delta }}\int _{u}^{\infty }e^{-t^{2}}dt-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}e^{-u^{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/84d74fc866b7102fdb5b332a88271f3e0027b9fd)
,
pour la somme comprise dans l’expression de
; et en ayant égard à la valeur de
, cette expression deviendra
|
.
|
(3)
|
Lorsque les chances
et
sont constantes et conséquemment égales aux moyennes
et
, on a
; ce qui fait coïncider cette formule (3), et les limites précédentes de
et
, avec