devra tomber entre les limites
, sera évidemment
![{\displaystyle \mathrm {P} =\int _{c-\varepsilon }^{c+\varepsilon }f_{\prime }zdz}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca86762b9cb683deece8c60abc34530eefbaaf12)
.
Or, pour
, on a, d’après les formules (5) et (4),
![{\displaystyle \mathrm {X} =\int _{a}^{b}e^{xz{\sqrt {-1}}}f_{\prime }zdz}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9cccad6ff9308004c03e3f3c3d2b1f2a94b02551)
,
![{\displaystyle \mathrm {P} ={\frac {1}{\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\left(\int _{a}^{b}e^{xz{\sqrt {-1}}}f_{\prime }zdz\right)e^{-\varepsilon x{\sqrt {-1}}}\sin {\varepsilon x}\,{\frac {dx}{x}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/17edee5e1eba129569727debd7ad9d2b9c230a17)
;
et en intervertissant l’ordre des intégrations relatives à
et
, et faisant disparaître les imaginaires, cette expression de
pourra s’écrire ainsi
![{\displaystyle \mathrm {P} ={\frac {1}{\pi }}\int _{a}^{b}\left[\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(c+\varepsilon -z)x}{x}}dx-\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(c-\varepsilon -z)x}{x}}dx\right]f_{\prime }zdz}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/283091e1c7c3f90e39bfb6d010b5b7ef8d5d23a2)
.
Mais on a, comme plus haut,
![{\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\sin {\gamma x}}{x}}dx=\pm {\frac {1}{2}}\pi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87a271e7d6657fb103ed4ea43edbd2ec17785b8c)
,
selon que la constante
est positive ou négative ; la différence des deux intégrales relatives à
sera donc nulle ou égale à
, selon que les deux quantités
et
seront de mêmes signes ou de signes contraires ; par conséquent, l’intégrale relative à
se réduira à zéro pour toute valeur de
qui sera, ou plus grande que
, ou plus petite que
; elle ne devra donc s’étendre qu’aux valeurs de
comprises à la fois entre
et
, et entre
et
; et puisque nous regardons
comme nulle pour toutes les valeurs de
qui tombent hors des limites
et
, la valeur de P se réduira à l’intégrale
, prise depuis
jusqu’à
; ce qu’il s’agissait de vérifier.
(101). Lorsque
sera un très grand nombre, on pourra, par des transformations semblables à celles du no 95, changer la formule (4) en une autre qui fera connaître la valeur approchée de
.