Observons d’abord que la formule (5) peut s’écrire ainsi
![{\displaystyle \mathrm {X} =\int _{a}^{b}e^{xz_{1}{\sqrt {-1}}}f_{1}z_{1}dz_{1}\int _{a}^{b}e^{xz_{2}{\sqrt {-1}}}f_{2}z_{2}dz_{2}\ldots \int _{a}^{b}e^{xz_{\mu }{\sqrt {-1}}}f_{\mu }z_{\mu }dz_{\mu }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a57e7dacc92fb1245f380ae6985c8badc37f297)
.
Faisons ensuite
![{\displaystyle \left(\int _{a}^{b}f_{n}z_{n}\cos {xz_{n}}dz_{n}\right)^{2}+\left(\int _{a}^{b}f_{n}z_{n}\sin {xz_{n}}dz_{n}\right)^{2}=\rho _{n}^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a2fa6909d2b449666dc86d631275b6a663cb5a01)
;
il y aura un angle réel
, tel que l’on ait
![{\displaystyle {\frac {1}{\rho _{n}}}\int _{a}^{b}f_{n}z_{n}\cos {xz_{n}}dz_{n}=\cos {r_{n}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2643e5b0793cb4240475cfbaf2533e7f31cf9e3f)
,
![{\displaystyle {\frac {1}{\rho _{n}}}\int _{a}^{b}f_{n}z_{n}\sin {xz_{n}}dz_{n}=\sin {r_{n}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0dd1377de2954ca9f2c7d798b5136672b1247c11)
;
et si l’on fait aussi, pour abréger,
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\rho _{1}\rho _{2}\rho _{3}\ldots \rho _{\mu }=\mathrm {Y} ,\\&r_{1}+r_{2}+r_{3}+\ldots +r_{\mu }=y,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e983b375c73d9ce54f53c0eef3f90e50ecb4097)
la valeur précédente de
deviendra
![{\displaystyle \mathrm {X} =\mathrm {Y} e^{y{\sqrt {-1}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/355064a310abb7de23d3f84cc65a43234e3f1e28)
.
En la substituant dans la formule (4), on aura donc
![{\displaystyle \mathrm {P} ={\frac {1}{\pi }}\!\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {Y} \cos(y{-}cx)\sin {\varepsilon x}{\frac {dx}{x}}+{\frac {\sqrt {-1}}{\pi }}\!\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {Y} \sin(y{-}cx)\sin {\varepsilon x}{\frac {dx}{x}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8dc1667c0bc0782df47bc09fb3d6899c4dab82f8)
;
et comme les éléments de la seconde intégrale sont deux à deux égaux et de signes contraires, et ceux de la première, deux à deux égaux et de mêmes signes, cette valeur de
se réduira à
|
.
|
(11)
|
Pour
, on a
; et pour toute autre valeur de
, celle