de
est moindre que l’unité. En effet, l’expression de
peut évidemment se changer en celle-ci :
![{\displaystyle {\begin{aligned}\rho _{n}^{2}&=\int _{a}^{b}f_{n}z\cos {xz}dz\,{.}\int _{a}^{b}f_{n}z'\cos {xz'}dz'\\&+\int _{a}^{b}f_{n}z\sin {xz}dz\,{.}\int _{a}^{b}f_{n}z'\sin {xz'}dz'\;;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f4dfdf6dbe9ddff84c7867ee9f2a3bd3cb19f9c6)
laquelle est équivalente à
![{\displaystyle \rho _{n}^{2}=\int _{a}^{b}\int _{a}^{b}f_{n}zf_{n}z'\cos {x(z-z')}dzdz'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e07a73c5f79e742595df2580c3044cec0cee59cd)
;
quantité moindre que
, ou que
, pour toute valeur de
différente de l’unité ; et, par conséquent, moindre que l’unité, puisqu’on doit avoir
et
.
Cela posé, le nombre
étant très grand, il s’ensuit que dès que la variable
ne sera plus très petite, le produit
, égal à l’unité pour
, se réduira, en général, à une très petite fraction qui serait tout-à-fait nulle si
pouvait devenir infini. En faisant abstraction, comme dans le no 95, du cas particulier où
convergerait vers une quantité différente de zéro[1], nous pourrons donc ne donner à
, dans l’intégrale que contient la formule (11), que de très petites valeurs, à la limite desquelles la valeur de
soit insensible ; de sorte qu’en faisant
![{\displaystyle \mathrm {Y} =e^{-\theta ^{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/11faf5706bee3f5d4048581c82beff4a6a0bfb87)
,
la variable
pourra être supposée infinie à cette limite ; et qu’en substituant cette variable à
dans l’intégration, on devra prendre zéro et l’infini pour les limites de l’intégrale relative à
.
Pour exprimer
et
au moyen de
et
, je développe les valeurs précédentes de
et
suivant les puissances de
. En
- ↑ Pour l’examen de ce cas particulier et des singularités qu’il présente, je renverrai à mon mémoire inséré dans la Connaissance des Tems, de 1827, et que j’ai déjà cité (no 60).