ce qui donne, en ajoutant ces deux dernières équations,
![{\displaystyle 4h_{n}=\int _{a}^{b}\int _{a}^{b}(z-z')^{2}f_{n}zf_{n}z'dzdz'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b425d3763c52d5684d2d8c8fd7a88f8db3f49cde)
.
Or, cette valeur de
est évidemment positive, et ne peut pas non plus être nulle, puisque tous les éléments de l’intégrale double sont positifs ; par conséquent, il en sera de même à l’égard de la somme
, et de
.
Le cas le plus simple est celui d’une égale probabilité de toutes les valeurs possibles de A, pendant toute la série des épreuves. Quel que soit
, on aura alors
![{\displaystyle f_{n}z={\frac {1}{b-a}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75104a6550f246562b198738a312509a5dbff53f)
,
afin que cette valeur constante de
satisfasse à la condition
; et il en résultera
![{\displaystyle k_{n}=k={\frac {1}{2}}(a+b)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ac72b10390b2a7a970ac8f4914201e68febdafe)
,
![{\displaystyle h_{n}=h={\frac {1}{6}}(a^{2}+ab+b^{2})-{\frac {1}{8}}(a+b)^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d5aac1ecdd1ae7b1f5ae841a95141a789c955ddf)
.
Les limites de
dont la probabilité est
, seront, en conséquence,
![{\displaystyle {\frac {1}{2}}(a+b)\mp {\frac {\mu (b-a)}{\sqrt {6\mu }}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd88161f6523455feb0c49d51f3ea636c7863653)
,
et se réduiront à
, lorsqu’on aura
. En prenant, par exemple (no 82),
![{\displaystyle u=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ea08ed932b6883d805e392918b1df37de2a891e)
0,4765,
il sera également probable que la moyenne
se trouvera comprise en dedans ou en dehors des limites (0,389)
; et si l’on a
600, il y aura un contre un à parier que
ne s’écartera pas de zéro, d’une quantité plus grande que la fraction 0,4765/30 de
, à très peu près égale à (0,016)
.