Ce cas est celui d’un point
qui doit tomber à chaque épreuve sur une droite dont la longueur est
, et où l’on suppose toutes les positions de
sur cette droite également probables :
est alors la probabilité que dans un très grand nombre
d’épreuves, la distance moyenne de
au milieu de cette droite n’excédera pas la fraction
de sa demi-longueur
. Si
devait tomber à chaque épreuve sur la surface d’un cercle du rayon
, et que l’on supposât également probables toutes les distances égales du point
à son centre, il est évident que la probabilité
d’une distance
serait proportionnelle à
; en la supposant constante pendant les épreuves, et observant que toutes les distances possibles seraient comprises entre zéro et
, il faudrait prendre
pour satisfaire à la condition
; de cette manière, on aurait
![{\displaystyle k_{n}=k={\frac {2b}{3}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/544070a979c9b0ef3e69af6daec7d52d51d6702f)
,
![{\displaystyle 2h_{n}=2h={\frac {1}{2}}b^{2}-{\frac {4}{9}}b^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ecf358ab5d3e0fa51e8bf9bd0b0a20fe7680738)
;
et
serait la probabilité que dans le nombre
d’épreuves, la moyenne des distances du point
au centre serait comprise entre les limites
![{\displaystyle {\frac {2b}{3}}\mp {\frac {ub}{3{\sqrt {\mu }}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c4eaff9ff7802271672f31e18e7422c51928eca)
.
(103). Quoique nous ayons supposé (no 97) la chose A susceptible de toutes les valeurs comprises entre les limites
et
, mais inégalement probables, les formules que nous avons obtenues n’en sont pas moins applicables au cas où le nombre de valeurs possibles de A est limité ; et pour cela, il suffira de considérer comme des fonctions discontinues, les fonctions
,
,
, etc., qui expriment les lois de probabilité des valeurs de A dans les
épreuves successives.
Soient, en effet,
, un nombre
de valeurs de
comprises entre
et
; supposons que la fonction
soit nulle pour toutes les valeurs de
qui ne sont pas infiniment peu différentes de l’une de ces quantités
; en désignant par
un infiniment petit, supposons aussi qu’on ait
![{\displaystyle \int _{c_{1}-\delta }^{c_{1}+\delta }f_{n}zdz=\gamma _{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e8a350442cbffa8dbba8298978306f3ceecc44ec)
,
![{\displaystyle \int _{c_{2}-\delta }^{c_{2}+\delta }f_{n}zdz=\gamma _{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4de3300f3587153bf2b253ee2c55861a2addf530)
,…
![{\displaystyle \int _{c_{\nu }-\delta }^{c_{\nu }+\delta }f_{n}zdz=\gamma _{\nu }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/28121beb0372750d3b11f17a550b1b7bc7c2a4c0)
;