de cette manière, A ne sera susceptible que des
valeurs données
, dont les probabilités respectives seront
à la
ième épreuve, et pourront varier d’une épreuve à une autre, c’est-à-dire avec le nombre
. Mais l’une de ces valeurs devant avoir lieu certainement à la
ième épreuve, il faudra que l’on ait
![{\displaystyle \gamma _{1}+\gamma _{2}+\gamma _{3}+\ldots +\gamma _{\nu }=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d845fd0ab2ea1b18c0deadd3db42ce00bec34581)
,
pour toutes les valeurs de
, depuis
jusqu’à
. Cette somme des quantités
,
,
, etc., sera d’ailleurs la valeur de l’intégrale
, et cette équation remplace la condition
.
Pour un indice quelconque
, on a identiquement
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{2}&\textstyle \int zf_{n}zdz&{}={}&\textstyle c_{i}\int f_{n}zdz+\int (z-c_{i})f_{n}zdz,\\&\textstyle \int z^{2}f_{n}zdz&{}={}&\textstyle c_{i}^{2}\int f_{n}zdz+2c_{i}\int (z-c_{i})f_{n}zdz+\int (z-c_{i})^{2}f_{n}zdz.\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ca56c738dd337014142879f45be6cbb2953ec42)
Si l’on prend ces intégrales entre les limites
, celles qui renferment le facteur
sous le signe
s’évanouiront, puisque entre ces limites, ce facteur est infiniment petit, et les autres auront
pour valeur. On aura donc
![{\displaystyle \int _{c_{i}-\delta }^{c_{i}+\delta }zf_{n}zdz=\gamma _{i}c_{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3e587570caa1fdc30bdc55667fd424267722e8c)
,
![{\displaystyle \int _{c_{i}-\delta }^{c_{i}+\delta }z^{2}f_{n}zdz=\gamma _{i}c_{i}^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c9cec064d0c0323965fa7142eae52203022edb00)
;
d’où l’on conclut
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{2}&\textstyle \int zf_{n}zdz&{}={}&\gamma _{1}c_{1}+\gamma _{2}c_{2}+\gamma _{3}c_{3}+\ldots +\gamma _{\nu }c_{\nu },\\&\textstyle \int z^{2}f_{n}zdz&{}={}&\textstyle \gamma _{1}c_{1}^{2}+\gamma _{2}c_{2}^{2}+\gamma _{3}c_{3}^{2}+\ldots +\gamma _{\nu }c_{\nu }^{2}\;;\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0edd0182047ee0217a77cdf971f0903f74938f16)
au moyen de quoi les quantités désignées par
et
dans le no 101, deviendront
![{\displaystyle {\begin{aligned}k&={\frac {1}{\mu }}{\textstyle \sum (\gamma _{1}c_{1}+\gamma _{2}c_{2}+\ldots +\gamma _{\nu }c_{\nu })},\\h&={\frac {1}{2\mu }}{\textstyle \sum [(\gamma _{1}c_{1}^{2}+\gamma _{2}c_{2}^{2}+\ldots +\gamma _{\nu }c_{\nu }^{2})-(c_{1}\gamma _{1}+c_{2}\gamma _{2}+\ldots +c_{\nu }\gamma _{\nu })^{2}]}\;;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e77ca149d0eb1ce465309fee8f61c70a32bf2fc)