l’on fait
![{\displaystyle v{\sqrt {\frac {r-r^{2}}{\rho -r^{2}}}}+\theta {\sqrt {\frac {r-\rho }{\rho -r^{2}}}}=\theta _{\prime }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ac520295c6ea6a9d60da0e1e0288d48e1e54732)
,
![{\displaystyle {\sqrt {\frac {r-r^{2}}{\rho -r^{2}}}}dv=d\theta _{\prime }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/280a99942df436fc66930c6b3b587dad5829f0e6)
,
les limites de l’intégrale relative à
seront aussi
; et en désignant par
la probabilité infiniment petite de l’expression de
, on aura
![{\displaystyle \zeta d\theta ={\frac {d\theta }{\pi }}e^{-\theta ^{2}}\int _{-\infty }^{\infty }e^{-\theta _{\prime }^{2}}d\theta _{\prime }={\frac {1}{\sqrt {\pi }}}e^{-\theta ^{2}}d\theta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3629015d1ec053eb4397006a38146215b6b0fda7)
.
Donc
étant une quantité positive et donnée, la probabilité que la valeur inconnue de
tombera entre les limites
![{\displaystyle {\frac {m}{\mu }}\mp {\frac {u{\sqrt {2m(\mu -m)}}}{\mu {\sqrt {\mu }}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/09c0d6e99c36cd584c868db7f5dd9921669e5a79)
,
coïncidera avec la quantité
donnée par la formule (13), puisque cette probabilité sera
![{\displaystyle \int _{-u}^{u}\zeta d\theta ={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{u}e^{-\theta ^{2}}d\theta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd36e8c7a9012052e7adec55a0b080211880a687)
.
Ainsi,
est la probabilité que la quantité spéciale
dont s’approche indéfiniment le rapport
, à mesure que le grand nombre
augmente encore davantage, ne diffère de ce rapport que d’une quantité comprise en les limites
![{\displaystyle {\frac {u{\sqrt {2m(\mu -m)}}}{\mu {\sqrt {\mu }}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/90b90dce20b9db2881ddadccdbad011c57ed459f)
,
qui ne contiennent rien d’inconnu.
Dans une seconde série composée d’un très grand nombre
d’épreuves, soit
le nombre de fois que l’événement E arrivera. En désignant par
une variable positive ou négative, mais très petite par rapport à
, la probabilité infiniment petite de l’équation
![{\displaystyle r={\frac {m'}{\mu '}}-{\frac {\theta '{\sqrt {2m'(\mu '-m')}}}{\mu '{\sqrt {\mu '}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da5d12e2fc232dfeba10d9f768d18b2ff620a99b)
,