On pourrait généraliser ces expressions, ainsi que les formules (12) et (13), et les étendre au cas où l’on saurait qu’une partie
des
jurés a été prise au hasard sur une première liste, une autre partie
sur une autre liste, etc. ; et où l’on supposerait que pour la première liste une valeur
de la chance moyenne de ne pas se tromper a une probabilité
; que pour la seconde liste,
est la probabilité d’une valeur
de cette chance moyenne ; et ainsi de suite. Mais cette extension ne présentant ni difficulté, ni application utile, nous nous dispenserons d’écrire les formules compliquées auxquelles elle donnerait lieu.
(128). Quand
et
seront de très grands nombres, il faudra avoir recours à la méthode du no 67 pour calculer les valeurs approchées des intégrales contenues dans les formules (12), (13), (14). Je considérerai d’abord celles que renferment les formules (12) et (13).
Depuis
jusqu’à
, le produit
n’a qu’un seul maximum ; je représenterai par
sa valeur, et par
celle de
à laquelle il répond ; on aura
![{\displaystyle \alpha ={\frac {n-i}{n}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/daa0a04518377b068310f10e7445f1afc834d988)
,
![{\displaystyle \beta ={\frac {i^{i}(n-i)^{n-i}}{n^{n}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4aea81f9a31e8063daf679ad888ca202b57ae0b3)
.
Je fais ensuite
![{\displaystyle u^{n-i}(1-u)^{i}=\beta e^{-x^{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3ecbb9405bba2bd9c237e334ab9c06e8b386c67)
,
ou bien, en passant aux logarithmes
![{\displaystyle x^{2}=\log {\beta }-(n-i)\log {u}-i\log(1-u)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad40d60736f4cbb99b32f342b578111e58fee58c)
.
La variable
croîtra continuellement depuis
jusqu’à
; les valeurs
,
,
, répondront à
,
,
; et les limites de l’intégrale relative à
seront
, quand celles qui se rapportaient à
étaient zéro et l’unité. En général, si l’on appelle
et
les limites relatives à
, correspondantes à des limites
et
relatives à
, on aura
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{2}&\lambda &{}={}&\pm {\sqrt {(n-i)\log {\frac {n-i}{ln}}+i\log {\frac {i}{(1-l')n}}}},\\&\lambda '&{}={}&\pm {\sqrt {(n-i)\log {\frac {n-i}{l'n}}+i\log {\frac {i}{(1-l')n}}}},\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/37190f89aa8a44886292ba75c2a972d3e84d0394)