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$k$ n’est pas une très petite fraction, la valeur de $\mathrm {Z} _{i}$ sera sensiblement égale à l’unité. Dans le cas de ${\varphi (1-u)=\varphi u}$ pour toutes les valeurs de $u$, on aura

$\int _{0}^{1-\alpha }\varphi udu=-\int _{0}^{\alpha }\varphi (1-u)du=\int _{\alpha }^{1}\varphi udu$ ;

ce qui réduira la valeur de $\mathrm {Z} _{i}$ à $k$, comme cela doit être.

Si l’on prend ${a=1-\alpha }$ et ${a'_{\prime }=\alpha }$, les valeurs correspondantes $b$ et $b'_{\prime }$ de $\theta$ et $\theta '$ seront égales ; en les désignant par $c$ et ayant égard à ce que $\alpha$ représente, $c$ sera la quantité positive déterminée par l’équation}}

$(n-i)^{i}i^{n-i}=i^{i}(n-i)^{n-i}e^{-c^{2}}$ ;

on aura

${\begin{aligned}\int _{1-\alpha }^{\alpha }\mathrm {U} _{i}\varphi udu&=\varphi \alpha {\sqrt {\frac {2i(n-i)}{\pi n^{3}}}}\left(c\int _{c}^{\infty }e^{-x^{2}}dx+{\frac {1}{2}}-e^{-c^{2}}\right),\\\int _{1-\alpha }^{\alpha }\mathrm {V} _{i}\varphi udu&=\varphi (1-\alpha ){\sqrt {\frac {2i(n-i)}{\pi n^{3}}}}\left(c\int _{c}^{\infty }e^{-x^{2}}dx+{\frac {1}{2}}-e^{-c^{2}}\right)\;;\end{aligned}}$

d’où il résultera

$\mathrm {Y} _{i}={\frac {k\varphi \alpha +(1{-}k)\varphi (1{-}\alpha )}{k{\int _{\alpha }^{1}}\!\varphi udu+(1{-}k){\int _{0}^{1-\alpha }}\!\varphi udu}}\!\!\left(\!c{\int _{c}^{\infty }}\!\!\!\!e^{-x^{2}}\!dx{+}{\frac {1}{2}}{-}e^{-c^{2}}\!\right)\!\!{\sqrt {\frac {2i(n{-}i)}{\pi n^{3}}}}$,

pour la probabilité, dans la condamnation dont il s’agit, que la chance $u$ de ne pas se tromper, commune à tous les jurés, a été comprise entre ${1-\alpha }$ et $\alpha$, c’est-à-dire entre ${\tfrac {i}{n}}$ et ${\tfrac {n-i}{n}}$. Cette probabilité est très faible à cause du facteur très petit $\textstyle {\sqrt {\frac {2i(n-i)}{\pi n^{3}}}}$ : il s’ensuit qu’il est au contraire très probable que la chance $u$ a été, ou plus grande que $\alpha$, ou plus petite que ${1-\alpha }$.

Pour le vérifier, je prends ${a_{\prime }=1}$ et ${a'_{\prime }=1}$, les valeurs correspondantes de $\theta$ et $\theta '$ sont ${b_{\prime }=\infty }$ et ${b'_{\prime }=\infty }$ ; il en résulte

${\begin{aligned}\int _{\alpha }^{1}\mathrm {U} _{i}\varphi udu&=\int _{\alpha }^{1}\varphi udu-{\frac {1}{2}}\varphi \alpha {\sqrt {\frac {2i(n-i)}{\pi n^{3}}}},\\\int _{1-\alpha }^{1}\mathrm {V} _{i}\varphi udu&={\frac {1}{2}}\varphi (1-\alpha ){\sqrt {\frac {2i(n-i)}{\pi n^{3}}}}\;;\end{aligned}}$