En représentant ce que devient
par
, lorsqu’on y change
et
en
et
, et par
, quand on y fait le changement de
et
en
et
, nous aurons de même
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {G} '_{m}&={\frac {a\,{.}\,a-1\,{.}\,a-2\ldots a-m+1}{1\,{.}\,2\,{.}\,3\ldots m}},\\\mathrm {G} ''_{n}&={\frac {b\,{.}\,b-1\,{.}\,b-2\ldots b-n+1}{1\,{.}\,2\,{.}\,3\ldots n}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f1e75b20dbc88f84c68fac98c34ae9236d14e035)
Le produit de
et
sera le nombre de groupes de
ou
boules que l’on peut former avec les
ou
boules contenues dans A, et dont chacun renfermera
boules blanches et
boules noires ; la probabilité d’amener un de ces groupes en tirant à la fois
boules de l’urne A, est d’ailleurs égale à leur nombre divisé par celui de tous les groupes de
boules que A renferme, c’est-à-dire à ce produit
divisé par
; en la désignant par
, on aura donc
![{\displaystyle \Pi ={\frac {\mathrm {G} '_{m}\mathrm {G} ''_{n}}{\mathrm {G} _{\mu }}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a05ef2434dd4bd349a6594cb21372ef01d3871ec)
;
ce qui coïncide avec la valeur de
du numéro précédent. L’expression de
du même numéro est aussi la probabilité d’amener au moins
boules blanches en tirant à la fois
boules de l’urne A.
(20). Dans l’exemple de ce no 18, la chance de l’événement E variait pendant les épreuves, parce qu’à chaque nouvelle épreuve, elle dépendait des nombres de fois que E et l’événement contraire F avaient eu lieu précédemment ; mais il y a d’autres questions dans lesquelles ces deux événements, d’une nature quelconque, ont des chances propres, indépendantes à chaque épreuve, de ce qui est arrivé jusque là, et qui varient d’une épreuve à une autre.
Généralement, dans une série de
épreuves que l’on va faire ou qui ont eu lieu, soient
et
les chances de E et F à la première épreuve,
et
à la seconde…,
et
à la dernière, de sorte qu’on ait
![{\displaystyle p_{1}+q_{1}=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/84e36a443c49bfb2a687b3d8eb7e6848e9cb1606)
,
![{\displaystyle p_{2}+q_{2}=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/32a93868e6782f4bfae1c4ea8ef293a53393bcdb)
, …,
![{\displaystyle p_{\mu }+q_{\mu }=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0efdbc0e4f87369424c9397046a1c59cbb46ec24)
.