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Pour obtenir la probabilité que E arrivera ou est arrivé un nombre $m$ de fois et F un nombre $n$ ou ${\mu -m}$, dans un ordre quelconque, je désigne par $\mathrm {P} _{m}$ le produit d’un nombre $m$ des fractions $p_{1},\,p_{2},\,p_{3},\,\ldots ,\,p_{\mu }$, et par $\mathrm {Q} _{n}$ celui d’un nombre $n$ des fractions $q_{1},\,q_{2},\,q_{3},\,\ldots ,\,q_{\mu }$, qui n’entrent dans aucune des équations précédentes, avec l’une des fractions comprises dans $\mathrm {P} _{m}$, de manière que si $\mathrm {P} _{m}$ renferme la fraction quelconque $p_{i}$, la fraction correspondante $q_{i}$ n’entrera pas dans $\mathrm {Q} _{n}$, et que si $\mathrm {P} _{m}$ ne contient pas $p_{i}$, la fraction $q_{i}$ entrera dans $\mathrm {Q} _{n}$. Je multiplie ensuite ces deux produits $\mathrm {P} _{m}$ et $\mathrm {Q} _{n}$ l’un par l’autre, puis je fais la somme de toutes les quantités possibles ${\mathrm {P} _{m}\mathrm {Q} _{n}}$, ainsi formées, et dont le nombre sera celui que l’on a désigné par $\mathrm {K}$ dans le n^o 14 : cette somme exprimera la probabilité demandée.

On peut énoncer cette règle d’une autre manière qui nous sera utile dans la suite.

Soient $u$ et $v$ deux quantités indéterminées ; faisons

$\mathrm {R} =(up_{1}+vq_{1})(up_{2}+vq_{2})(up_{3}+vq_{3})\ldots (up_{\mu }+vq_{\mu })$,

de manière que $\mathrm {R}$ exprime un produit de $\mu$ ou ${m+n}$ facteurs. Si l’on effectue ce produit, on aura un polynôme de ${\mu +1}$ termes, ordonné suivant les puissances de $u$ et de $v$. Or, le coefficient de ${u^{m}v^{n}}$ dans ce polynôme sera la probabilité que nous considérons, de l’arrivée $m$ fois de E et $n$ fois de F, dans un ordre quelconque. Prenons, par exemple, ${m=3}$. Nous aurons

${\begin{aligned}\mathrm {R} &=u^{3}p_{1}p_{2}p_{3}+u^{2}v(p_{1}p_{2}q_{3}+p_{1}p_{3}q_{2}+p_{2}p_{3}q_{1})\\&+uv^{2}(p_{1}q_{2}q_{3}+p_{2}q_{1}q_{3}+p_{3}q_{1}q_{2})+v^{3}q_{1}q_{2}q_{3}.\end{aligned}}$

Le coefficient de $u^{3}$ est évidemment la probabilité de l’arrivée de trois fois E ; le coefficient de ${u^{2}v}$ est celle de l’arrivée de deux fois E et une fois F, ce qui peut avoir lieu parce que E arrive aux deux premières épreuves et F à la dernière, F à la seconde épreuve et E aux deux autres, F à la première épreuve et E aux deux dernières ; le coefficient de ${uv^{2}}$ exprime de même la probabilité de l’arrivée de deux fois F et d’une fois E ; enfin, celui de $v^{3}$ est évidemment la probabilité de l’arrivée de trois fois F.

Si à chaque épreuve, E peut avoir lieu de plusieurs manières également possibles, on prendra pour la chance de E à cette épreuve, con-