Si nous nous bornons à dire que est incommensurable, nous n’en donnerons pas une définition.
Dirons-nous que est le nombre qui multiplié par lui-même produit 2 ? Ce serait faire un cercle vicieux, puisque pour comprendre la multiplication par , il faut avoir préalablement défini .
Nous définissons d’abord la racine carrée de 2 à un dixième près, le plus grand nombre de dixièmes dont le carré est contenu dans 2 ; nous définissons ensuite de même la racine carrée de 2 à un centième, à un millième près, etc.
La racine carrée de 2 est maintenant pour nous la limite de ses racines carrées à un dixième, à un centième près, etc.
Voici la définition rigoureuse : « La racine carrée d’un nombre est la limite des nombres dont les carrés ont pour limite le nombre proposé. »
On prouve, bien entendu, que la limite existe et qu’elle est unique.
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Coumot a rapproché l’extension de l’idée de multiplication aux fractions et l’extension des règles de calcul aux nombres négatifs. Ces deux généralisations permettent de rendre les relations entre les grandeurs, indépendantes de l’unité et du zéro-origine choisis.
Les nombres incommensurables donnent déjà de la généralité à l’arithmétique. Le vrai passage à l’algèbre
