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indispensable à la Géomp.hriftnurA Snn= ,)«“(“’ m tt • indispensable à la Géométrie pure. Sans doute, AL Hannequin a raison contré Chasles, et triomphe à boa droit de l’aveu que fait celui-ci, à savoir que la Géométrie projective, tout en excluant en’ gênerai les relations algébriques, fait appel à l’idée de gr.ande.ur ou du. moins à une certaine espèce de grandeurs, attendu qu’elle repose tout entière sur la notion du rapport anharmonique (soit : des :F. ; longueurs, soit des angles), et sur l’égalité de tels rapports. Mais ce qui était vrai pour Chasles, au temps- où il écrivait son Aperçu historique, ne. l’est plus pour nous car depuis lors Christian von Staudt a affranchi la Géométrie projective de toute considération métrique en substituant au rapport anharmonique lé « jeL » (Wurfj, c’est-adire la figure formée par quatre points d’une droite ou quatre rayons d’nafàiscéàu, et à l’égalité des rapports anharmoniques ïaprojecti- v vué des jets, c’est-à-dire le fait qu’ils peuvent être mis en perspective ? . Il réduit ainsi toutes les relations métriques à dès relations Y~ projectives, les figures se correspondant lés unes aux autres par projection ; or, comme nous venons de le montrer, la ligne droite instrument unique de ces, projections, est elle-même pure de toute ` relation métrique. Grâce à cette- conception, la Géométrie, de positionne trouve- constituée avec une rigueur et une unité que Chasles ne connaissait pas. Toute idée de grandeur en est systématiquement bannie, et l’on n’y considère jamais que l’ordre et la position des éléments des figures..
M. Hannequin allègue encore que la Géométrie pure procède dans ses démonstrations, sinon par mesures, et par calculs, du moins par égalités et par proportions (p. 14, .33). Mais peut-être ces relations ne sont-elles métriques qu’en apparence. D’une partj’égalité géométrique se ramène, en. définitive, à. la coïncidence, qui est une relation de situation, et non de grandeur ; d’autre part, les proportions que’ l’on emploie en Géométrie ne font que traduire la similitude des figures, qui est plutôt une relation de forme qu’une relation de graadeur
- , et qui pourrait se définir d’une manière purement projective
(parl’homothétie, ou par l’égalité de tous les angles). En effet de ce que deux triangles ont leurs angles égaux, «jn’dédait qu’ils ont leurs peMùi (p ! ne !)"1 malhémat^Ue’ Partie> livre IV> <*«P- "L notamment VAppeaadi ~e (P< 2~8 :), ¡,
•dpr"’v reBreLté De’bœuf a- fort justement- critiqué comme surabondante la ulZ m Tran 6 del7a-s™i’^> Qu’il définit lui-même par I’idenUtTde a forme (Prolegomen.es philosophiques de la Géométrie, p. 132 136 sqq) `.
