obscur qu’en voyant qu’il n’a pas été compris. Les objections qu’on lui fera seront, donc pour lui un avertissement, et en même temps une occasion d’exprimer plus complètement et plus clairement sa pensée.
C’est dans cet esprit que j’entreprends cette réponse. Je ne veux pas, à proprement parler, réfuter les objections de MM. Lechalas et Couturat, mais préciser le but que j’ai poursuivi et les conclusions auxquelles j’ai cru pouvoir m’arrêter.
Ces deux savants m’excuseront donc si je ne les suis pas toujours sur le terrain qu’ils ont choisi.
Je répondrai en premier lieu à M. Lechalas.
Un mot d’abord au sujet de la dénomination de raisonnement par récurrence. Cette expression est consacrée par l’usage universel des mathématiciens. Son sens étymologique est oublié et je ne m’en suis pas inquiété, j’ai pris le mot dans son sens usuel.
Le but que je me suis proposé, ainsi que mon titre l’indique, est simplement d’étudier le mécanisme du raisonnement mathématique, et ce que j’ai dit ne s’applique pas plus particulièrement à l’arithmétique qu’à toute autre partie des mathématiques.
Je n’ai pas voulu répondre à M. Ballue ; je n’avais pas connaissance de son article quand j’ai écrit le mien ; après l’avoir lu, j’ai seulement ajouté une phrase où je le citais incidemment, mais le sujet que je traite est absolument différent du sien.
Je n’ai pas cherché à faire une théorie des pluralités et je ne l’ai pas fait parce que c’était hors de mon sujet. C’est pour la même raison que je n’ai pas parlé de la question d’Orient.
Je n’ai pas défini le nombre , ni le nombre , ni l’opération ; c’est avec intention ; ces définitions ne jouent aucun rôle dans mes recherches et je pouvais, sans m’en occuper, étudier le mécanisme du raisonnement mathématique, comme on pourrait étudier le mécanisme d’un moulin sans donner l’analyse chimique du blé qu’il a à moudre.
Je n’ai pas donné non plus la définition du signe ; si j’avais cru nécessaire d’en donner une, j’aurais adopté celle de Helmholtz dans sa célèbre Jubelschrift intitulée « Zählen und Messen ».
Voici à peu près comment il s’exprime :
