ment la pensée de l’auteur ; mais il n’y a aucun rapprochement à faire entre ce rôle des miroirs ou des lentilles, et celui du travail de Beltrami. De quelque façon qu’on juge la thèse philosophique d’Helmholtz, il ne semble donc pas que, pour l’approuver ou la combattre, on puisse manquer d’un seul élément nécessaire à la discussion, si on laisse complètement de côté la géométrie non-euclidienne.
III
Ce sont des travaux d’un tout autre genre que ceux de Riemann et d’Helmholtz sur l’espace à n dimensions. Pour en donner une idée, rappelons qu’un point peut se définir à l’aide de trois valeurs algébriques, par exemple, ses distances à trois plans fixes. Dans ce sens, notre espace peut s’appeler une certaine multiplicité de trois dimensions. Si on conçoit l’idée générale des multiplicités de n dimensions, on le rangera dans la classe de celles où les dimensions sont des quantités de même espèce, mesurables entre elles, et où n est égal à 3. D’ailleurs parmi ces multiplicités de 3 dimensions de même espèce, des relations spéciales entre les éléments de la multiplicité achèveront de caractériser l’espace euclidien. C’est là une sorte de classification logique qui permet de définir l’espace en le faisant rentrer dans des genres de plus en plus généraux.
Riemann et Helmholtz n’ont pas procédé de la même manière dans la recherche des conditions spéciales qui caractérisent l’espace ; parmi les multiplicités de n dimensions certaines expressions analytiques, prises par Riemann pour point de départ, sont déduites par Helmholtz de quelques hypothèses sur le mouvement des corps. Mais au fond les conclusions se ressemblent, et nous nous contenterons, pour les considérations que nous avons en vue, de donner la série des postulats qui constituent pour Helmholtz le concept d’espace.
1o L’élément d’espace, le point, se détermine à l’aide de n quantités ou dimensions qui varient d’une manière continue.
2o Il existe des systèmes de points indéformables et mobiles. Les 2 n coordonnées de deux points d’un pareil système seront liées par une relation qui devra être indépendante du mouvement du système, et rester la même pour toute couple de deux points coïncidant avec les deux premiers.
3o Le mouvement d’un corps solide est entièrement libre : un point pourra en se déplaçant d’une manière continue venir coïncider avec n’importe quel autre, les seules restrictions étant fournies par le postulat précédent.
