Page:Scientia, année 3, volume 6 (extrait), 1909.djvu/10

• 1^o la longueur MG est égale aux 3333 dix-millièmes de AM,

• 2^o la longueur MG est le tiers de AM,

la seconde est non seulement la seule vraie en théorie, mais est aussi la plus vraie en pratique. Et je ne veux pas dire par là qu’une précision plus grande dans les mesures prouverait l’inexactitude de la première proposition ; car, si au lieu de la fraction 0,3333, on écrivait la fraction 0,3333333333333333, on pourrait être assuré que l’expérience ne démentira jamais l’affirmation que tel est le rapport de MG à AM. Si l’on doit, au point de vue pratique, préférer le second énoncé, c’est uniquement parce qu’il est plus simple, à un double point de vue : simplicité de forme dans les termes qui l’expriment ; simplicité de fond, c’est-à-dire adaptation plus immédiate à l’utilisation effective.

3. Les nombres irrationnels. — Les géomètres grecs avaient déjà reconnu l’impossibilité théorique de mesurer exactement la diagonale d’un carré en prenant comme unité le côté de ce carré : la série d’opérations connue sous le nom d’algorithme d’Euclide se prolonge indéfiniment, sans que l’on puisse espérer arriver au bout avec de la patience car on constate aisément qu’elle est périodique^[1]. On est ainsi conduit à dire que le rapport de la diagonale au côté du carré est le nombre irrationnel ${\sqrt {2}}$. Quelle est la signification pratique

1. On sait que l’algorithme d’Euclide est identique à la série des opérations élémentaires par lesquelles on trouve le plus grand commun diviseur de deux nombres ; on divise le plus grand par le plus petit, puis celui-ci par le reste de la première division, puis ce reste par le reste de la seconde division, etc., jusqu’à ce que l’on arrive à un reste nul ; c’est ce qui arrive toujours lorsqu’on part de deux nombres entiers, mais non pas toujours lorsqu’on part de deux grandeurs géométriques ; celles-ci sont alors dites incommensurables entre elles. Dans le cas de la diagonale du carré et de son côté, on démontre facilement par la géométrie que le rapport du premier reste au second est égal au rapport du second au troisième, et ainsi de suite ; il est donc impossible que l’opération se termine. Ce fait géométrique équivaut à l’identité numérique
   ${\frac {1}{{\sqrt {2}}-1}}=({\sqrt {2}}+1)=2+({\sqrt {2}}-1),$

   
   laquelle permet d’obtenir le développement en fraction continue périodique

   ${\sqrt {2}}-1={\frac {1}{2+{\frac {1}{2+{\frac {1}{2+\cdots }}}}}}$