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cette forme irrationnelle. Si, au contraire, les mesures d’une certaine classe de constantes physiques fournissaient des résultats numériques pouvant être représentés, à l’approximation de ces mesures, par ${\sqrt {2}},{\sqrt {3}},{\sqrt {5}},{\sqrt {7}},{\sqrt {13}},{\sqrt {19}}$, il n’est pas douteux que l’on trouverait un avantage pratique à adopter cette représentation, indépendamment des avantages théoriques qui pourraient peut-être en résulter.

4. Le continu mathématique. — De la notion générale de nombre irrationnel, on déduit celle du continu mathématique, c’est-à-dire de l’ensemble de tous les nombres réels, rationnels on non. Cet ensemble possède comme l’ensemble des nombres rationnels, et si l’on peut dire, a fortiori, la propriété d’être partout dense ; mais il s’en distingue par deux caractères essentiels : 1^o Il est parfait  ; 2^o il n’est pas énumérable. Rappelons brièvement le sens de ces deux énoncés.

Considérons la série des valeurs approchées par défaut de racine de ${\sqrt {2}}$ à ${\frac {1}{10}},{\frac {1}{100}},{\frac {1}{1000}},\cdots$ près ;

$1,4;~1,41;~1,414;~1,4142;~\cdots$

c’est une suite de nombres rationnels croissants ; lorsque l’on considère les nombres rationnels comme les seuls nombres existants, cette suite ne tend pas vers une limite, car sa limite est le nombre irrationnel ${\sqrt {2}}$ : c’est même ainsi que, au point de vue purement arithmétique, on définit ce nombre. On dira que l’ensemble des nombres rationnels n’est pas parfait, parce qu’il ne contient pas tous ses points-limites ; au contraire, l’ensemble de tous les nombres, tant rationnels qu’irrationnels, est parfait : car il est identique à l’ensemble de ses points-limites. Cette propriété est essentielle dans toutes les démonstrations classiques où intervient la notion de continuité, si importante en analyse : c'est là la raison pour laquelle l’introduction des nombres irrationnels est indispensable pour la construction de l’analyse.

Mais cet avantage certain entraîne une difficulté considérable : l’ensemble des éléments (points géométriques ou nombres) qui constituent le continu n’est pas énumérable, c’est-à-dire qu’il n’est pas possible de ranger ces éléments en une suite simple, dont les termes successifs puissent être numérotés à l’aide de la suite naturelle des nombres entiers. Je ne développerai pas ici les raisons pour lesquelles ce caractère de