On constate ainsi que, dans deux termes qui se correspondent, le coefficient de est égal à l’exposant de
264. – Remarque. – Il semble d’après cela que, seuls, les nombres de la progression géométrique admettent des logarithmes. Nous allons montrer comment, pratiquement, un nombre quelconque a un logarithme. Soit compris entre et insérons entre ces deux nombres moyens géométriques, et entre leurs logarithmes, et insérons aussi moyens arithmétiques ; il est clair que :
1o À chacun des nombre compris entre et correspondra donc un logarithme compris entre et
2o On peut prendre suffisamment grand pour que les termes insérés soient extrêmement voisins l’un de l’autre (no 256).
Dans ces conditions, ou bien sera l’un des nombres insérés entre et et alors il aura un logarithme ; ou bien sera compris entre deux de ces nombres, et alors, pour éviter une nouvelle insertion de moyens, on remplace par le nombre qui en est le plus approché par défaut ou par excès, dont le logarithme donne une valeur approchée, par défaut ou par excès, du logarithme exact de
Il est évident que, plus le nombre des moyens insérés est grand, plus l’erreur commise en procédant ainsi est petite ; mais cette approximation des calculs explique pourquoi, dans la plupart des cas, le calcul par logarithmes ne donne pas rigoureusement le même résultat que le calcul arithmétique ; pratiquement, l’erreur commise est négligeable.
265. – Théorème fondamental : – Le logarithme d’un produit de facteurs est égal à la somme des logarithmes de chacun des facteurs.
Soient deux facteurs et Je dis que :
En effet, ces facteurs peuvent être ramenés à faire partie d’une progression géométrique dans laquelle ils sont des
