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Pratiquement, on calcule par l’arithmétique tout le second membre ; soit $\mathrm {V}$ la valeur finale trouvée ; on a :

${\rm {(1+r)^{n}=V}}$

On termine ensuite le calcul par logarithmes :

$\mathrm {n} \,log\,(1+\mathrm {r} )=log\,\mathrm {V}$

$\mathrm {n} ={\frac {log\,\mathrm {V} }{log\,(1+\mathrm {r} )}}$d’où

306. – Remarque. – Dans un problème d’annuités, la nature de n exige que ce nombre soit entier. Si le calcul précédent donne un quotient exact entier, le problème est terminé. Sinon, on peut faire plusieurs conventions, tout à fait arbitraires. Supposons $\mathrm {n} =8{,}4\ldots \,;$ on pourra :

1^o Adopter $8$ pour réponse, mais alors, si l’on veut obtenir le capital $\mathrm {A} ,$ il faut augmenter l’annuité $\mathrm {a} \,;$ le problème n’est terminé qu’après avoir calculé la nouvelle annuité. Au contraire, si l’on veut conserver l’annuité $\mathrm {a} ,$ il faut calculer la valeur accumulée en $8$ ans, qui n’est plus $\mathrm {A} .$

2^o Adopter $9$ pour réponse, et procéder d’une manière analogue.

3^o Adopter $8$ pour réponse, en conservant $\mathrm {a}$ et $\mathrm {A} \,;$ pour cela, calculer le capital accumulé en $8$ ans par $8$ annuités $\mathrm {a} ,$ et le retrancher du capital demandé $\mathrm {A} \,;$ le reste, ou reliquat, sera versé à la fin de la 8^e année, comme une 9^e annuité différente des autres et terminant l’opération.

307. – Calcul de $\mathrm {r} .$ Dans la pratique, le taux est toujours connu.

308. – APPLICATION. – Pendant combien de temps faut-il verser au commencement de chaque année une annuité de $500^{\text{f}}$ pour obtenir un capital de $10000,^{\text{f}}$ le taux étant $3\%\ ?$

La formule (3) donne :

$1{,}03^{\text{n}}={\frac {10000\times 0{,}03}{500\times 1{,}03}}+1=1{,}5825$

$\mathrm {n} \,log\,1{,}03=log\,1{,}5825$