Nous remarquons que c’est la somme des termes d’une progression géométrique dont le 1er terme est
la raison
et le nombre des termes
Appliquons la formule
il vient :
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {A} =&\mathrm {\frac {a(1+r)\left[(1+r)^{n}-1\right]}{1+r-1}} \\\mathrm {A} =&\mathrm {\frac {a(1+r)\left[(1+r)^{n}-1\right]}{r}} \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a8909f7c349b017a1cfa6b93818cb92952d7734)
ou(1)
FORMULES
303. – Calcul de
– De la formule (1) on tire :
![{\displaystyle log\,\mathrm {A} =log\,\mathrm {a} +log\,(1+\mathrm {r} )+log\,\left[(1+\mathrm {r} )^{n}-1\right]+colog\,\mathrm {r} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/52f71afde54be27399957de8968a1c634862403a)
Mais il faut bien remarquer que la quantité entre crochets, étant une différence, doit être calculée à part pour en trouver ensuite le logarithme. Pour cela, on cherche par logarithmes la valeur de
on en retranche
puis on cherche le logarithme de cette différence.
Pratiquement on peut se borner à calculer par logarithmes seulement la valeur de
puis on effectue tous les autres calculs par l’arithmétique.
304. – Calcul de
– La formule (1) donne de suite
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(2)
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que l’on peut calculer entièrement par l’arithmétique, après avoir trouvé
par logarithmes. Sinon, l’on calcule :
![{\displaystyle log\,\mathrm {a} =log\,\mathrm {A} +log\,\mathrm {r} +colog(1+\mathrm {r} )+colog\left[(1+r)^{n}-1\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22f32f043f9b670d890f404b9a8b7101a21e96cb)
305. – Calcul de
– De la formule (1) on tire.
![{\displaystyle {\rm {Ar=a(1+r)\left[(1+r)^{n}-1\right]\quad {\text{d’où}}\quad (1+r)^{n}-1={\frac {Ar}{a(1+r)}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/786cd0fab80364eebe608b61fda50162c4f978a6)
![{\displaystyle {\rm {(1+r)^{n}={\frac {Ar}{a(1+r)}}+1}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff5186715b953142c0b22222e23db59a7fc1e268)
et(3)