Pour conclure que
est fonction continue de
il faut donc prouver : 1o que toutes les valeurs de
vont toujours en croissant de
à
2o qu’elles ne présentent aucune solution de continuité, et pour cela, qu’étant donnée une valeur
de la fonction, pour la valeur
de la variable, on obtiendra toujours une valeur
de la fonction, supérieure à
et très voisine de
en donnant à
un accroissement suffisamment petit.
Soient, en effet, deux valeurs quelconques de
telles que :
![{\displaystyle {\rm {x_{2}>x_{1},\quad {\text{ou}}\quad x_{2}-x_{1}>0}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c09bbf5ed58305c1689f9eb921a0e0e59c6e9eb9)
La fonction devient
Retranchons membre à membre :
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(1)
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Or
est positif, par hypothèse, ainsi que
donc leur produit
est positif, et par suite :
Ainsi, les valeurs de
devenant de plus en plus grandes, celles de
le deviennent aussi.
D’autre part, si nous voulons que la valeur
soit très voisine de
ou que leur différence
soit inférieure à une quantité positive très petite
nous pouvons écrire :
![{\displaystyle {\rm {y_{2}-y_{1}<e\quad {\text{ou}}\quad a(x_{2}-x_{1})<e}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86de288d1a3483158ae4b543b1e282cb5dcad499)
et enfin
Il suffirait donc de calculer
et de faire croître
d’une quantité plus petite que le quotient trouvé, pour avoir une valeur de
très voisine de la précédente.
2o Soit
– On voit de suite que :
Pour