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OBSERVATIONS

54. — La théorie des logarithmes que nous venons d’indiquer est absolument conforme à celle basée sur les progressions (n^o 262).

On peut le vérifier d’une façon très simple, en ne considérant que les puissances entières de $\mathrm {x}$ et les valeurs correspondantes de $\mathrm {y} .$

${\begin{array}{rcccccccc}Valeurs\ de\ \mathrm {x} \ :\ldots &-2&-1&0&1&2&3&4\ldots &\mathrm {n} \\\qquad {\text{—}}\qquad \mathrm {y} \ :\ldots &{\cfrac {1}{\mathrm {a} ^{2}}}&{\cfrac {1}{\mathrm {a} }}&1&\mathrm {a} &\mathrm {a} ^{2}&\mathrm {a} ^{3}&\mathrm {a} ^{4}\ldots &\mathrm {a^{n}} \end{array}}$

On voit de suite que :

1^o si les valeurs de $\mathrm {x}$ croissent en progression arithmétique, celles de $\mathrm {y}$ varient en progression géométrique ;

2^o à la valeur $0$ de $\mathrm {x}$ correspond toujours la valeur $1$ de $\mathrm {y} \,;$

3^o        —       $1$                —                —                  $a$      —, ou base ;

4^o un nombre quelconque : ${\rm {P=a^{n},}}$ a pour logarithme $\mathrm {n} .$

On ferait une constatation analogue en faisant croître $\mathrm {x}$ par ${\frac {1}{2}},{\frac {1}{4}},{\frac {1}{10}}\ldots$ etc…

Ces relations étant identiques à celles obtenues d’après le système des deux progressions définies au n^o 262, le graphique de la fonction exponentielle n’est donc autre chose que celui du système de logarithmes défini par deux progressions.

55. — Conséquences. — Si l’on prend pour base $\mathrm {a} =10,$ le graphique de la fonction exponentielle donnera sur l’axe des $\mathrm {x}$ les logarithmes vulgaires des nombres lus sur l’axe des $\mathrm {y} .$ Ce graphique pourra donc remplacer une table de logarithmes vulgaires, et l’on opérera sur ces logarithmes comme il a été dit au chapitre II, page 221, du Cours d’Algèbre.

Cependant, on ne se sert pas directement de ce graphique, car il serait beaucoup moins pratique que les tables ; on en tire parti, d’une façon très ingénieuse, pour construire un instrument dont l’emploi se répand de plus en plus aujourd’hui : la Règle à calculs.