Si et sont les logarithmes respectifs des nombres et on a par définition :
(1)
(2)
Multiplions membre à membre ces égalités :
Cette égalité prouve, d’après la définition, que est le logarithme de ce qui justifie l’énoncé.
51. — Quotient. — Le logarithme d’un quotient est égal au logarithme du dividende moins le logarithme du diviseur.
En divisant membre à membre les égalités (1) et (2) on a :
Donc, par définition, est le logarithme de ce quotient.
52. — Puissance. — Le logarithme d’une puissance d’un nombre est égal au logarithme du nombre multiplié par l’exposant de la puissance.
Élevons à la puissance les deux membres de l’égalité (1) :
Donc, par définition, est le logarithme de
53. — Racine. — Le logarithme d’une racine d’un nombre est égal au logarithme du nombre divisé par l’indice de la racine.
Extrayons la racine ne des deux membres de l’égalité (1) :
donc
et, par définition, est le logarithme de