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entier, ou fractionnaire, ou le plus souvent incommensurable. Mais en algèbre, de tels nombres admettent 2 racines lorsque l’indice de cette racine est pair ; cela résulte de ce qui a été vu au n° 31 (Applications).

Ainsi, le nombre 4 a pour racines carrées $+2$ et $-2$, car $(+2)^{2}=4$ et $(-2)^{2}=4$.

D’une façon générale, si a est positif, il admet deux racines carrées ; $+{\sqrt {\mathrm {a} }}$ et $-{\sqrt {\mathrm {a} }}$, qu’on indique ensemble : $\pm {\sqrt {\mathrm {a} }}$.

La racine précédée du signe $+$ est dite valeur arithmétique du radical.

Il est clair que ces deux racines sont égales en valeur absolue, mais de signes contraires.

Tout nombre positif admet 1 racine algébrique positive lorsque l’indice de la racine est impair ; il admet deux racines algébriques, égales en valeur absolue, mais de signes contraires, lorsque l’indice de la racine est pair.

105. — Racines des nombres négatifs. — Un nombre négatif n’admet pas de racine d’indice pair. Ainsi ${\sqrt {-9}}$ n’existe pas, car aucun nombre, élevé au carré, ne peut donner $-9$ (n° 31). Un nombre négatif admet une racine d’indice impair, et elle est négative.

Ainsi $\qquad {\sqrt[{3}]{-27}}=-3\qquad$ car $\qquad (-3)^{3}=-27$.

Tout nombre négatif n’admet pas de racine si l’indice est pair ; il admet une racine négative si l’indice est impair.

Remarque importante. — Pour éviter des complications dues aux signes, nous ne tiendrons compte, dans ce qui suivra, que de la valeur arithmétique d’un radical, c’est-à-dire de la valeur absolue de l’expression qu’il renferme et de celle de la racine. Ainsi, ${\sqrt {9}}$ ne représentera que le nombre 3.

Nous nous baserons donc entièrement sur des propriétés et des principes arithmétiques.

De cette manière, à un radical correspondra une valeur unique, on prouvera par suite l’égalité de deux expressions en les élevant à une même puissance, et en constatant que ces puissances sont égales.