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Si l’on ne faisait pas cette restriction, et si l’on tenait compte des signes, ce raisonnement pourrait être faux, car,

	$\ \ -2\quad$ et $\quad +2\ \$	ne sont pas égaux,
et pourtant leurs carrés	$\ \ +4\quad$ et $\quad -4\ \$	sont égaux.

PRINCIPES FONDAMENTAUX.

106. — Lemme. — La puissance pq d’un nombre est égale à la puissance q de sa puissance p, ou à la puissance p de sa puissance q.

Je dis, par exemple, que pour élever a à la puissance 6, je peux d’abord élever a au carré, puis ce résultat au cube, ou élever d’abord a au cube, puis ce résultat au carré ; c’est ce que signifie la notation :

                                         $\mathrm {a^{6}=(a^{2})^{3}=(a^{3})^{2}}$(1)

xx1°xx$\mathrm {(a^{2})^{3}}$xxsignifiexx$\mathrm {a^{2}\times a^{2}\times a^{2}=a^{2+2+2}=a^{2\times 3}}$.

xx2°xx$\mathrm {(a^{3})^{2}}$xxxx—xxxx$\mathrm {\,a^{3}\times a^{3}\qquad \ \,=a^{3+3}\quad =a^{3\times 2}}$.

Or, quels que soient les exposants, leurs produits intervertis sont égaux ; donc les notations $\mathrm {a^{2\times 3}}$ et $\mathrm {a^{3\times 2}}$ sont égales, et par suite les relations (1) sont exactes. D’une façon générale on a donc :

$\mathrm {a^{pq}=(a^{p})^{q}=(a^{q})^{p}} .$

107. — Théorème. — On ne change pas la valeur d’un radical en multipliant ou en divisant l’indice et l’exposant par le même nombre.

Je dis que :                     $\mathrm {{\sqrt[{n}]{a^{p}}}={\sqrt[{nk}]{a^{pk}}}} .$(1)

Pour le démontrer, élevons les deux membres, séparément, à la puissance nk.

1° D’après le lemme n° 106, on a :

$\mathrm {\left({\sqrt[{n}]{a^{p}}}\right)^{nk}=\left[\left({\sqrt[{n}]{a^{p}}}\right)^{n}\right]^{k}}$.

Or, par définition,          $\mathrm {\left({\sqrt[{n}]{a^{p}}}\right)^{n}=a^{p}}$.

Donc                              $\mathrm {\left[\left({\sqrt[{n}]{a^{p}}}\right)^{n}\right]^{k}=\left(a^{p}\right)^{k}=a^{pk}}$(2)