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121. — Degré. — Le degré d’une équation est celui du terme qui a le degré le plus élevé par rapport aux inconnues, lorsque cette équation a été ramenée à la forme entière et rationnelle.

Ainsi :  $\ \ \ \;3x+9=21$ est du 1^er degré.
 $4xy+11=35$ est du 2^e degré.
 $\ \;x^{2}-4x=20$ est du 2^e degré.

§ II. — Résolution de l’équation du premier degré à une inconnue.

PRINCIPE I

122. — Si l’on ajoute une même quantité aux deux membres d’une équation, ou si l’on en retranche une même quantité, on obtient une équation équivalente à la proposée.

Soit l’équation  $3x+2=77-12x$(1)

xxx J’ajoute $4+x$ à chaque membre :
  $3x+2+4+x=77-12x+4+x$(2)

Je dis que l’équation (2) est équivalente à l’équation (1). Pour cela, je vais prouver que toute racine de la première vérifie la seconde, et réciproquement.

1° Toute solution de l’équation (1) est solution de l’équation (2).
xxx Soit $x=5$ une solution de l’équation (1). Cela signifie qu’en remplaçant $x$ par $5$ dans l’équation (1), celle-ci deviendra une identité, c’est-à-dire que ses deux membres deviendront des nombres algébriques égaux :
 $3\times 5+2=77-12\times 5$(3)

xxx Dans une telle égalité, nous pouvons ajouter $4+5$ aux deux membres, ceux-ci resteront égaux :
 $3\times 5+2+4+5=77-12\times 5+4+5$(4)

xxx Ainsi, cette égalité est sûrement une identité, et il n’est même pas nécessaire d’effectuer les calculs pour le vérifier ; or, comparons cette identité à l’équation (2). Ces égalités ne diffèrent qu’en ce que la lettre $x$ de l’équation (2) est remplacée par $5$ dans l’identité (4) ; cela prouve que si, dans l’équation (2), je remplace $x$ par $5$, j’aurai sûrement une identité : par suite, $5$ est une solution de l’équation (2).