2° Toute solution de l’équation (2) est solution de l’équation (1). — En effet, soit une solution de l’équation (2) ; elle transforme donc l’équation (2) en l’identité (4). Dans cette identité, retranchons des deux membres, et nous avons l’identité (3).
Enfin, la comparaison de l’identité (3) et de l’équation (1) montre que, si l’on remplace par dans l’équation (1) on obtient une identité ; par suite, est une solution de l’équation (1).
Les équations (1) et (2) sont donc bien équivalentes.
On arriverait à un résultat analogue en retranchant une même quantité des deux membres.
123. — Applications. — I. Transposition des termes. — On peut faire passer un terme d’un membre dans l’autre en changeant son signe.
Soit (1)
Je puis ajouter aux deux membres :
ou.
D’autre part, je puis retrancher maintenant 2 des deux membres :
ou.(2)
Nous constatons que , qui avait le signe dans le second membre, se retrouve avec le signe dans le premier ; que , qui avait le signe dans le premier membre, se retrouve avec le signe dans le second. D’où la règle mécanique énoncée plus haut.
II. Simplification. — Quand deux termes identiques sont de part et d’autre du signe , on les supprime.
Ainsi
se simplifie en.
III. Changement de signes. — On peut changer en même temps les signes de tous les termes.
Par exemple, je puis écrire l’équation (2) :
