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l’équation (1), on obtiendrait donc une identité ; par suite, $6$ est solution de l’équation (1).
xxx Les équations (1) et (2) sont donc équivalentes. Il en est de même si l’on divise les deux membres par $4$, car cela revient à les multiplier par ${\frac {1}{4}}$

Restriction. — Soit l’équation  $3x-11=x+3$,(1)

qui admet pour racine $7$. En faisant passer tous les termes dans le premier membre, on obtient l’équation équivalente :
 $3x-11-x-3=0$.(2)
L’équation (2) admet donc aussi $7$ pour racine. Multiplions par $(x-2)$ les deux membres de cette équation
 $(3x-11-x-3)\ (x-2)=0$.(3)
Si, dans cette équation (3), nous faisons $x=7$, le premier facteur du premier membre $(3x-11-x-3)$ devient nul, et son produit par l’autre facteur est nul : l’équation (3) est donc vérifiée pour $x=7$, comme l’équation (2) ou son équivalente (1).
xxx Mais le premier membre de l’équation (3) peut aussi devenir nul si le second facteur $(x-2)$ est nul, soit pour $x=2$. L’équation (3) est donc aussi vérifiée pour $x=2$, que n’admet pas l’équation (1).

En résumé, l’équation (1) admet une racine, $7$.
 —  —  (3)ad—et deux racines, $7$ et $2$.

Ces équations ne sont donc pas équivalentes, et l’équation (3) est plus générale que l’équation (1) (n° 118).
xxx La racine $2$, introduite par la transformation précédente, est dite étrangère à l’équation proposée.
xxx Remarquons toutefois que cette racine étrangère provient de la présence du facteur $(x-2)$ dans l’équation (3). Lorsque les transformations sont telles que le facteur contenant l’inconnue n’apparaît pas dans chaque terme de la nouvelle équation, celle-ci n’admet pas de nouvelle racine, et elle est équivalente à la proposée. (Voir n° 127, IV et VI.)

125. — Conséquences. — I. — Quand on multiplie les deux membres d’une équation par une quantité contenant l’inconnue, on risque d’introduire des racines étrangères : il faut donc vérifier les racines trouvées, et rejeter celles qui ne conviennent pas à l’équation proposée. Ces racines étrangères, lorsqu’elles existent, sont les valeurs de l’inconnue qui annulent la quantité multiplicateur.